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ich sitze gerade am Beweis, dass echte obere Dreiecksmatrizen nilpotent sind. D.h dass An = 0 für n∈ℕ. Beweisen kann man dies ja z.B mit vollständiger Induktion.

Induktionsanfang: 2x2-Matrix,

man definiere eine Matrix C =

0*
00


Bildet man nun C2 dann sieht man leicht, dass es die 2x2- Nullmatrix ergibt. Damit ist der Induktionsanfang gezeigt.


Induktionsschritt: n->n+1


An+1 = An A = 0 A = 0, weil An nach Voraussetzung null ist.


Aber irgendwie bin ich mit dem Beweis nicht ganz zufrieden. Kann mir jemand einen Tipp geben?


Mit freundlichen Grüßen

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Alternativ könntest du auch mit dem charakteristischen Polynom und dem Satz von Cayley-Hamilton argumentieren.

1 Antwort

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Aloha :)

Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn eine(!) ihrer Potenzen die Nullmatrix gibt:$$A^n=0\quad\text{für ein }n\in\mathbb{N}$$Es ist gar nicht gefordert, dass das für fast alle \(n\) gelten muss. Da die Multiplikation einer quadratischen Matrix mit der Nullmatrix wieder die Nullmatrix ergibt, gilt für jede Potenz \(m>n\):$$A^m=A^{m-n}\cdot A^n=A^{m-n}\cdot0=0\quad;\quad(m>n)$$Hier gilt nun:$$\left(\begin{array}{c}0 & a\\0 & 0\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\left(\begin{array}{c}0 & a\\0 & 0\end{array}\right)\text{ ist nilpotent mit Nilpotenzgrad }2$$

Avatar von 148 k 🚀

Das ist keine Gruppe.

Stimmt, die regulären quadratischen Matrizen waren die mit der Gruppe. Danke für den Hinweis! Ich korrigiere meine Antwort.

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