Beweis, dass Funktion durch Polynom an den gegebenen Stützstellen interpoliert wird.

Question

Aufgabe:

Von einer Funktion \( f \) seien die drei Funktionswerte \( f(-1)=y_{0}, f(0)=y_{1} \) und \( f(1)=y_{2} \) bekannt.
(a) Man beweise, dass \( f \) durch das Polynom
\( \frac{1}{2}\left(y_{0}-2 y_{1}+y_{2}\right) \cdot x^{2}-\frac{1}{2}\left(y_{0}-y_{2}\right) \cdot x+y_{1} \)
an den gegebenen Stützstellen interpoliert wird.

Problem/Ansatz:

Wie geht das?

Answer 1

Aloha :)

Du musst nur die \(x\)-Werte einsetzen:$$y(-1)=\frac12(y_0-2y_1+y_2)\cdot(-1)^2-\frac12(y_0-y_2)\cdot(-1)+y_1=y_0\quad\checkmark$$$$y(0)=\frac12(y_0-2y_1+y_2)\cdot0^2-\frac12(y_0-y_2)\cdot0+y_1=y_1\quad\checkmark$$$$y(1)=\frac12(y_0-2y_1+y_2)\cdot1^2-\frac12(y_0-y_2)\cdot1+y_1=y_2\quad\checkmark$$Der Graph des Polynoms trifft alle 3 bekannten Punkte der Funktion \(f\).