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Wie rechnet man das? Kann mir jemand dabei helfen, danke.

a) Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren ein Polynom  p(x) von Grad ≤ 4 mit den Stützstellen (-2,12), (-1,6), (0,2), (1,0) und (2,24).

b) Berechnen Sie p(x) wie in a) nochmals mit dem Lagrange-Verfahren.

von


  allgemeines Polynom 4.Grades : a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e

  für die erste Stützstelle ergibt sich

  p(-12) = a*(-12)^4 + b*(-12)^3 + c*(--12)^2 + d*(-12) + e

  Du hast 5 Variable a,b,c,d,e und 5 Gleichungen/Stützstellen, also dürfte das Gleichungssystem lösbar sein.

  Warum das Newtonsche Nährungsverfahren verwendet werden soll weiß ich nicht.

  mfg Georg
Hier ist vermutlich nicht das Newtonsche Näherungsverfahren gemeint.

2 Antworten

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Newtonsches Interpolationsverfahren, Tabelle

Newtonsches Interpolationsverfahren, Polynom

So hier mal die Berechnung des Polynoms mit dem Newtonschen Interpolationsverfahren. Wie es prinzipiell funktioniert schlägst Du bitte in einer Formelsammlung oder bei Wikipedia nach.

von 3,7 k
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Hallo

Die Gausssche Interpolationsformel für Polynome 4. Grades (5 Stützstellen) mit gleichabständigen (!) Stützstellen führt auf das gleiche Ergebnis, wenn man 5 Glieder des Polynoms entwickelt:

p4(x) = p4(x0 +t*h) = y0

                                   +(y1 -y0) * (t über 1)

                                   +(y1 -2*y0 +y_1)  * ( t über 2)

                                   +(y2 -3.0*y1 +3.0*y0 -y_1) * ( t +1 über 3)

                                   +(y2 -4*y1 +6*y0 -4*y_1 +y_2) * (t +1 über 4)

In der Aufgabe ist zu setzen:

P_2 (x_2, y_2) = (-2, 12)      P_1(x_1, y_1) = (-1, 6)    P0(x0, y0) = (0,2)    P1(x1, y1) = (1, 0)    P2(x2, y2) = (2, 24)

x0 = 0

sowie der konstante Abstand der Stützstellen:

h = 1

Damit ergibt sich

p4(x) = p4(x0 +t*h) = p4(0+t*1) = p4(t) = y0 +(y1 -y0) * (t über 1) +(y1 -2*y0 +y_1)  * ( t über 2)

+(y2 -3.0*y1 +3.0*y0 -y_1) * ( t +1 über 3) +(y2 -4*y1 +6*y0 -4*y_1 +y_2) * (t +1 über 4)

 = 2 +(0 -2)*(t über 1) +(0 -2*2 +6)*(t über 2) +(24 -3*0 +3*2 -6)*(t+1 über 3) +(24 -4*0 +6*2 -4*6 +12)*(t+1 über 4)

 = 2 -2*t +2*(t*(t -1))/2  +24*(t+1)*t(t -1)/6 +(24)*(t +1)t(t -1)(t -2)/24

 = 2 -2*t +(t^2 -t) +(4t^3 -4t) +(t^3 -t)(t -2)

 = 2 -2t +(t^2 -t) +(4t^3 -4t) +(t^4 -2t^3 -t^2 +2t)

 = t^4 +2t^3 -5t +2

p4(x) = p4(t) => p(x) = x^4 +2x^3 -5x +2
von

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