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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

F(x1,x2)=8x^2+4xy+10y^2.

Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle a=(6,8)⊤ unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a). (Gehen Sie außerdem davon aus, dass x1≥0 und x2≥0 gilt.)

a. Momentane Änderungsrate von x1 bei Veränderung von x2 um eine marginale Einheit.
b. Exakte Veränderung von x1, wenn sich x2 um 0.45 Einheiten verringert.
c. Approximative Veränderung von x1, wenn sich x2 um 0.45 Einheiten verringert.


Problem/Ansatz:

Bei der a) habe ich -1,44

Bei b) und c) weiß ich leider nicht weiter und bräuchte dringend Hilfe.. vielen Dank vorab :)

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Aloha :)

Gegeben ist uns folgende Funktion \(F\) und ein Ankerpunkt \(\vec a\)$$F(x;y)=8x^2+4xy+10y\quad;\quad \vec a=\binom{6}{8}$$Das aktuelle Niveau ist:\(\quad F(\vec a)=560\)

zu a) Die momentane Änderungsrate erhalten wir mit dem totalen Differential \(dF\), das gleich Null sein muss, da sich das Niveau \(F(\vec a)=560\) ja nicht ändern soll:$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}(6;8)\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}(6;8)\,dy=(16x+4y)\big|_{(6;8)}\,dx+(4x+10)\big|_{(6;8)}\,dy$$$$0=128\,dx+34\,dy\implies128\,dx=-34\,dy\implies \boxed{dx=-\frac{17}{64}\,dy}$$Für \(dy=1\) erhalten wir \(dx=\boxed{-\frac{17}{64}}\)

zu b) Exakter Wert von \(x\), falls \(y=8-0,45=7,55\) gilt.$$560=8x^2+4x\cdot7,55+10\cdot7,55\quad\big|\text{alles auf eine Seite bringen}$$$$8x^2+30,2x-484,5=0\quad\big|\colon8$$$$x^2+3,775x-60,5625=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$x=-1,8875\pm\sqrt{1,8875^2+60,5625}\approx\left\{\begin{array}{r}+6,120318\\-9,895318\end{array}\right.$$Hier kommt nur die positive Lösung in Betracht, also: \(\quad x\approx6,120318\)

Die gesuchte exakte Änderung ist daher:\(\quad\Delta x\approx6,120318-6=\boxed{0,120318}\)

zu c) Hier müssen wir nur in das Ergebnis aus a) einsetzen:$$dx=-\frac{17}{64}\cdot(-0,45)=\boxed{0,119531}$$

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