Vektorgeometrie: Ebenengleichung anhand eines Bildes erkennen (Normalenform)

Question

Aufgabe:

Vektorgeometrie: Ebenengleichung anhand eines Bildes erkennen (Normalenform)

Problem/Ansatz:

Es geht nur um Aufgabe b)!

Wie erkenne ich anhand des Bildes, dass der Normalenvektor hier n—> (0/0/1) entspricht? (Lösung)

Meine einzige Erklärung wäre, dass die gesamte Ebene die Höhe 4 hat und ich mit dem Vektor (0/0/1) daher diese Ebene schneide, da diese waagrecht zu mir verläuft.

Wenn das so stimmen sollte, woran erkenne ich, dass die Ebene dieselbe Höhe hat? Dreidimensionale Zeichnungen sind leider bei mir oft Grund zur Verwirrung.

Andernfalls bin ich froh über eine Erklärung, wenn meine Erklärung nicht stimmen sollte.

Answer 1

Aloha :)

Eine Ebene ist ein 2-dimensionales Objekt. Das heißt, es gibt 2 Freiheitsgrade, die du völlig frei wählen kannst.

Zum Beispiel kannst du bei der (a) 2 Koordinaten völlig frei wählen, die dritte ist dann aber durch die Ebenengleichung$$E_a\colon\;\frac x3+\frac y6+\frac z4=1$$fest vorgegeben.

Bei der (b) kannst du offensichtlich die \(x\)- und die \(y\)-Koordinate völlig frei wählen. Die einzige Forderung ist, dass \(z=4\) sein muss. Daher lautet die Ebenengleichung:$$E_b\colon\;z=4$$Das kommt übrigens auch heraus, wenn du deine Normalen-Gleichung ausrechnest. Mit anderen Worten, deine Ideen sind korrekt, insbesondere die "Höhe" \(z=4\) folgt direkt aus deiner Normalen-Gleichung.

Answer 2

Da die gelb dargestellte Ebene parallel zur x1x2-Ebene verläuft, ist [0|0|1] der Normalenvektor.

Die Koordinatenform lautet z=4, bzw.

0x+0y+1z=4

Das entspricht der von dir angegebenen Normalenform.

:-)

Answer 3

Wie erkenne ich anhand des Bildes, dass der Normalenvektor hier n—> (0/0/1) entspricht?

Vertrautheit mit der Art, wie schlecht gemachte Mathematikaufgaben aufgebaut sind.

Zunächst ein mal sensibilisiert man die Kinder für die Problematik, ein dreidimensionales Koordinatensystem in eine zweidimensionale Ebene einzubetten. Und dann sagt man: "Scheiß drauf, lies die Punkte einfach so ab, wie sie für dich am einfachsten erscheinen". Außer, das sagt man nicht explizit; stattdessen wird es stillschweigend gefordert.

Und am einfachsten ist es halt, wenn die Ebene parallel zur \(xy\)-Ebene verläuft.