Bestimme dg für g := (f(A(x)+c)

Question

Aufgabe:

Seien m,n ∈ ℕ, f : ℝ^m  → ℝ differenzierbar, A ∈ L(ℝⁿ,ℝ^m) sowir c ∈ ℝ^m. Definiere g := (f(A(x) +c))_x∈ℝn. Berechnen Sie dg.

Problem/Ansatz:

Ich würde für

lim y->x ||f(A(y)+c) - f(A(x)+c) - C(y-x)|| / ||y-x||

ein geeignetes C wählen und ist der Limes dann 0 gilt dg = C. Nur wie kann ich mir am geschicktesten ein C wählen und wie lässt sich das ganze beweisen. Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich halte das für einen einfachen Fall von Kettenregel:

$$Dg(x)h=Df(Ax+c)Ah$$

(eventuell habt Ihr Ableitungen anders notiert?)

Comments

Danke erstmal für die Hilfe.

Bei uns ist df(x) definiert als

lim y->x || f(y) - f(x) - A(y-x) || / || y-x || = 0

Man schreibt dann auch df(x) anstelle von A.

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Ok, das passt ja dann

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Trotzdem ist mir noch nicht ganz klar wie sich dann zeigen lässt, dass

lim y->x = 0

für das gewählte dg(x).

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Ich habe den Satz über die Kettenregel benutzt. Ist der nicht bekannt?

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Ich dachte das Problem mit dem Satz der Kettenregel ist, dass wir für f nur wissen, dass f differenzierbar aber nicht total differenzierbar und ist. Also kann der Satz gar nicht angewandt werden. Deshalb wollte ich die andere Definition nutzen.

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Wenn ich totale Differenzierbarkeit zeigen will stimmt die obere Lösung nicht, oder ?

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Bei uns ist df(x) definiert als

lim y->x || f(y) - f(x) - A(y-x) || / || y-x || = 0

Das ist nach meinem Verständnis die Definition für Differenzierbarkeit. Für diesen Begriff gilt die Kettenregel.

Ansonsten weiß ich nicht, was der Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und totaler Differenzierbarkeit ist.