Zeige, dass A diagonalisierbar ist und bestimme eine invertierbare Matrix T mit

Question

5.5. Die Fibonacci-Folge. Leonardo von Pisa (12./13. Jh.) – genannt Fibonacci – stellt in seinem Buch ”Liber Abaci“ aus dem Jahr 1202 die folgende ”Kaninchenaufgabe“:
Jemand brachte ein Kaninchenpaar in einen gewissen, allseits von Wänden umgebenen Ort, um herauszufinden, wieviel [Paare] aus diesem Paar in einem neuen Jahr entstehen würden. Es sei die Natur der Kaninchen, pro Monat ein neues Paar hervorzubringen und im zweiten Monat nach der Geburt [erstmals] zu gebären. [Todesfälle mögen nicht eintreten.]

Die Anzahl der Kaninchenpaare im n-ten Monat ist somit durch die rekursiv definierte Folge

                               x_n+1 =x_n +x_n−1 (n∈N),

mit den Startwerten x₀ = 1 und x₁ = 1, gegeben. Diese Folge wird Fibonacci-Folge genannt.

(a) Gib eine Matrix A ∈ R^2×2 an, so dass

xn-1

xn

=

xn

xn+1

für allen ∈ N ist.

(b) Zeige, dass A diagonalisierbar ist und bestimme eine invertierbare Matrix T mit
T⁻¹AT = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist.

(c) Finde eine explizite (d. h. nicht rekursive) Formel für das Folgenglied x_n, für beliebiges n ∈ N.
Hinweis: Aⁿ = T(T⁻¹AT)ⁿT⁻¹ für alle n ∈ N.

Answer 1

Zu (a):

Das solltest du herausbekommen haben:$$\left(\begin{array}{c}x_n\\x_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_{n-1}\\x_{n}\end{array}\right)$$Zu (b):

Bestimme das charakteristische Polynom der Matrix. Dessen beide Nullstellen
sind die Eigenwerte von A. Ich habe heraus

\(\lambda_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\). Da die beiden Eigenwerte verschieden

sind, ist die Matrix diagonalisierbar. Bestimme zugehörige Eigenvektoren

\(v_1,v_2\). Die Matrix T besitzt diese Vektoren gerade als ihre Spalten ...