Kleinster Fixpunkt einer Funktion

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Funktion gegeben:

$$f\ = \lambda\ g\ x \rightarrow if \ x == 0\ then\ 1\ else\ 2\ * g (x - 1)$$

Das ist ein Beispiel für eine Aufgabe mit dem Fixpunktkombinator.

$$fix\ f\ =\ f(\ fix\ f)$$

und rechnet vom Prinzip her

$$f(x) = 2^x$$

aus.

Aufgabe: Bestimmen Sie den kleinsten Fixpunkt von f

Problem/Ansatz:

Das Prinzip ist mir klar, mit jedem Rekursionsschritt wird die Menge der definierten Bereiche vergrößert:

$$f \bot = \{(0,1)\}$$

$$f f \bot= \{(0,1), (1, 2)\}$$

usw.

Der kleinste Fixpunkt ist definiert als

$$sup[..., f^k \bot, ...]$$

Das supremum wäre $$2^x$$, oder?

Wenn das so ist, kann mir bitte jemand den Zusammenhang mit der Definition des Fixpunktes als

$$f x = x$$ erklären?

Vielen Dank