Multidimensionale Extrema: Braucht man fürs weitere Vorgehen den y-wert der ersten Gleichung ? hier: "2x(2y-1))´=0"?

Question

Aufgabe:

$$4xy-2x = 0 \wedge 3y^2+2x^2-6y = 0 \\$$

Problem/Ansatz:

Es geht um Extrema bei multidimensionalen Funktionen. Aber wohl eher um ein Unverständnis von Gleichungssystemen.
Also wenn ich in der ersten Gleichung x ausklammere. Bekomme ich x=0 und y=1/2.
Wenn ich nun x in die zweite Gleichung einsetze bekomme ich einmal y=0 und einmal y=2.

Der Gradient ist also 0 wenn x=0 ist und entweder y=0 oder y=2.
Und wolframalpha spuckt mir auch genau die beiden Extrema aus.

Mein Problem ist: Was ist mit dem y = 1/2 ? das würde die erste Gleichung ja auch null setzen...
Wenn ich das aber in die zweite Gleichung setze lande ich bei $$x_{12}=\pm\frac{3}{2\sqrt{2}}$$.
Hat dieser x Wert auch etwas mit den Extrema zu tun?

Answer 1

Hallo,

Zunächst hast Du 4 Nullstellen des Gradienten. Das sind Kandidaten für ein Extremum.

Dann muss mit der 2. Ableitung (Hesse Matrix) geprüft werden, ob tatsächlich ein Max oder Mon vorliegt.

Gruß  Mathhilf

Answer 2

Ich würde nach y auflösen und in 2.) einsetzen:

\(4xy-2x = 0 \wedge 3y^2+2x^2-6y = 0 \\\)

1.)\(4xy-2x = 0→x₃=0→3y^2-6y = 0→y₃=0 ∨ y₄=2\)  2.) \( 3y^2+2x^2-6y = 0\)

\(4xy = 2x→y=\frac{1}{2}\)

\( \frac{3}{4}+2x^2-3 = 0\)→\( x₁=\frac{3}{2*\sqrt{2}}∨x₂=-\frac{3}{2*\sqrt{2}}\)