Zeigen Sie folgende Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie folgende Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion:

a) $|\exp (i x)|=1$, für alle $x \in \mathbb{R}$,

b) $\operatorname{Re}(\exp (i x))=\frac{1}{2}(\exp (i x)+\exp (-i x))$, für alle $x \in \mathbb{R}$.

Beweis aber nur b

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee zu b ?

Answer 1

(a)
$|\exp (i x)|=\sqrt{\exp (i x) \overline{\exp (i x)}}=\sqrt{\exp (i x) \exp (-i x)}=\sqrt{\exp (0)}=1$

(b)
$\operatorname{Re}(\exp (i x))=\operatorname{Re}(\cos (x)+i \sin (x))=\cos (x)=\frac{1}{2}(\exp (i x)+\exp (-i x)) .$