Zeigen Sie, dass es eine invertierbare Matrix C ∈ℝnxn , sodass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

Question

Aufgabe:

Es sei A∈ℝ^nxn symmetrisch mit Eigenwerten λ₁,...λ_n. Außerdem sei b∈ℝⁿ und c ∈ℝ.

1. Zeigen Sie, dass es eine invertierbare Matrix C ∈ℝ^nxn , sodass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Der Vektor x∈ℝⁿ löst die Gleichung x^TAx+b^Tx+c=0

(b) Der Vektor y=C^Tx ∈ℝⁿ und d=C^Tb löst die Gleichung: λ₁y₁² + ...+ λ_n y_n² + d₁y₁ +...+ d_n y_n + c =0

*Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe an sich, aber ich verstehe einfach nicht, wie dieses C aussehen soll. Ich habe mir auch schon Beispielmatrizen und Vektoren gebildet, aber daraus erkenne ich auch nichts.

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Informiere Dich mal über das Stichwort "Diagonalisierung".