Sind alle normalen Matrizen invertierbar?

Question

Aufgabe: Ich bin beim nachgrübeln auf folgende Frage gestoßen:

             Sind alle normalen Matrizen invertierbar?

Wäre schön, wenn mir die jemand mit einer Begründung beantworten könnte.

Answer 1

Die Nullmatrix ist normal, aber nicht invertierbar.

Answer 2

Aloha :)

Normal bedeutet ja $A^\ast A=AA^\ast$ in $\mathbb C$ bzw. $A^TA=AA^T$ in $\mathbb R$.

Das legt die Vermutung nahe, dass $A^{-1}=A^\ast$ bzw. $A^{-1}=A^T$ ist.

Allerdings müsste dann auch $A^\ast A=\mathbf 1$ bzw. $A^TA=\mathbf 1$ sein.

Die Nullmatrix $A=\mathbf 0$ ist normal, aber $A^\ast A=\mathbf 0$ und $A^TA=\mathbf 0$.