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Aufgabe:

Ein zylindrischer extrudierter Körper hat eine Bodenfläche (bei z = 0), die durch die beiden Funktionen
b1(x) = −x und b2(x) = 2 − x^2

eingeschlossen wird. Die Deckelfläche wird durch die Gleichung
z = y − x^2 + 6

beschrieben. Alle Einheiten sind in cm angegeben.

a) Skizzieren Sie die Bodenfläche.
b) Berechnen Sie das Volumen des zylindrischen Körpers.


Problem/Ansatz:

Muss ich Dreifachintegrale verwenden? Wenn ja, welche Grenzen muss ich nehmen?

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine Zeichnung der Bodenfläche sieht etwa so aus:

~plot~ -x*(x>=-1)*(x<=2) ; (2-x^2)*(x>=-1)*(x<=2) ; [[-1|2|-2|2]] ~plot~

Man erkennt, dass \(x\in[-1;2]\) und \(y\in[-x;2-x^2]\).

Das Intervall für die Höhe ist uns explizit gegeben: \(z\in[0;y-x^2+6]\).

Das gesuchte Volumen können wir daher wie folgt formulieren:$$V=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}\int\limits_{z=0}^{y-x^2+6}dx\,dy\,dz=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}\left[z\right]_{z=0}^{y-x^2+6}dx\,dy$$$$\phantom V=\int\limits_{x=-1}^2\;\int\limits_{y=-x}^{2-x^2}(y-x^2+6)\,dx\,dy=\int\limits_{x=-1}^2\left[\frac{y^2}{2}-x^2y+6y\right]_{y=-x}^{2-x^2}\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=-1}^2\left[\left(\frac{(2-x^2)^2}{2}-x^2(2-x^2)+6(2-x^2)\right)-\left(\frac{x^2}{2}+x^3-6x\right)\right]\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_{x=-1}^2\left(\frac32x^4-x^3-\frac{21}{2}x^2+6x+14\right)\,dx=\left[\frac{3}{10}x^5-\frac{x^4}{4}-\frac{7}{2}x^3+3x^2+14x\right]_{-1}^2$$$$\phantom V=\frac{88}{5}-\left(-\frac{161}{20}\right)=\frac{352}{20}+\frac{161}{20}=\frac{513}{20}$$

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Ich vermute mal so: (Bin mir bei dem "zylindrisch" nicht so ganz klar)

\(   \int \limits_{-1}^2  \int \limits_{-x}^{2-x^2}  \int \limits_{0}^{y-x^2+6}  1 dxdydz\)

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