Wie berechnet man das „mithilfe des Entwicklungssatzes

Question

Berechnen Sie mit Hilfe des Entwicklungssatzes die Determinanten der folgenden Matrizen

a) \( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Welche Spalte und wie berechnet man das

Answer 1

Aloha :)

Du startest hier:$$D=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\2 & -2 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right|$$

Du suchst immer die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen. Das ist die letzte Spalte. Dann stellst du dir ein Schachbrett vor:$$\left|\begin{array}{rrrr}+ & - & + & -\\- & + & - & +\\+ & - & + & -\\- & + & - & +\end{array}\right|$$

Dort wo in der letzte Spalte die \(1\) steht, findest du im Schachbrett ein Minuszeichen. Daher wird der Faktor \((-1)\) vor die Determinante gezogen und dann die Spalte und Zeile mit dem rausgezogenen Element gestrichen:$$D=(-1)\cdot\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & \cancel 0\\0 & -1 & 1 & \cancel 0\\\cancel2 & \cancel{-2} & \cancel0 & \cancel1\\1 & 1 & 1 & \cancel0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right|$$

Jetzt entwickelst du z.B. nach der ersten Zeile. Mit dem Schachbrett vor Augen$$\left|\begin{array}{rrr}+ & - & +\\- & + & -\\+ & - & +\end{array}\right|$$erkennst du, dass bei der \(1\) und bei der \(2\) ein positives Vorzeichen auftaucht:$$D=-\left(1\cdot\left|\begin{array}{rrr}\cancel1 & \cancel0 & \cancel2\\\cancel0 & -1 & 1\\\cancel1 & 1 & 1\end{array}\right|+2\cdot\left|\begin{array}{rrr}\cancel1 & \cancel0 & \cancel2\\0 & -1 & \cancel1\\1 & 1 & \cancel1\end{array}\right|\right)$$$$\phantom D=-\left|\begin{array}{rr}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|-2\cdot\left|\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 1\end{array}\right|$$

Die beiden verblieben \(2\times2\)-Determinanten löst du auf, indem du "über Kreuz" multiplizierst, damit meine ich:$$\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}=ad-bc$$Damit erhältst du schließlich:$$D=-(-1-1)-2\cdot(0+1)=2-2=0$$

Answer 2

\(det( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) )\)

Entwickeln nach der letzten Spalte gibt

\(= -1 \cdot det( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\  1 & 1 & 1 \end{array}\right) )\)

Weiter mit Entwickeln nach der 1. Zeile

\(= -1( 1 \cdot det \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 \\   1 & 1 \end{array}\right) +2\cdot det \left(\begin{array}{cccc} 0 & -1 \\  1 & 1  \end{array}\right)  )\)

\(= -1( 1 \cdot (-2) +2\cdot 1 )  =-1*0  = 0 \)