Zeigen, dass für Fourier-Reihen, dass f(x) gerade bzw. ungerade

Question

Aufgabe:

Man zeige für Fourier-Reihen bei \( 2 \pi \)-periodischen Funktionen:
(a) Ist \( f(x) \) gerade, d.h. \( f(-x)=f(x) \) für alle \( x \), so gilt \( a_{n}=\frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} f(x) \cos n x d x \) und \( b_{n}=0 \).
(b) Ist \( f(x) \) ungerade, d.h. \( f(-x)=-f(x) \) für alle \( x \), so gilt \( a_{n}=0 \) und \( b_{n}=\frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} f(x) \sin n x d x \).

Problem/Ansatz:

Wie würde ich das machen können?

Answer 1

a)

\( a_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} f(t)*cos(k*t) dt \)

Die Integrationsgrenzen können innerhalb der Periode verschoben werden:

\( a_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)*cos(k*t) dt \)

Das Integral in den negativen und positiven Teil des Integrationsintervalls splitten:

\( a_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{0} f(t)*cos(k*t) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*cos(k*t) dt \)

wegen f(t)= f(-t) und cos(t)=cos(-t) folgt

\( a_{k} =  2*  \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*cos(k*t)dt\)

________________________________________________________________

\( b_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{2π} f(t)*sin(k*t) dt \)

Die Integrationsgrenzen können innerhalb der Periode verschoben werden:

\( b_{k} =   \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)*sin(k*t) dt \)

Das Integral in den negativen und positiven Teil des Integrationsintervalls splitten:

\( b_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{0} f(t)*sin(k*t) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*sin(k*t) dt \)

wegen f(t)= f(-t) und sin(t) = -sin(-t) folgt \( b_{k} =  0 \)

b)
\( a_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{0} f(t)*cos(k*t) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*cos(k*t) dt \)

wegen f(t) = -f(-t) und cos(t) = cos(-t) folgt  \( a_{k} =  0 \)

________________________________________________________________

\( b_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{0} f(t)*sin(k*t) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*sin(k*t) dt \)

wegen f(t) = -f(-t) und sin(t) = -sin(-t) folgt

\( b_{k} = 2*  \frac{1}{π} \int\limits_{0}^{+π} f(t)*sin(k*t) dt\)