Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
u(x, y, z) := 5x + y − 3z
unter den Nebenbedingungen
x + y + z = 0 , x² + y² + z² − 1 = 0

Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt g₁(x,y,z):=x+y+z und g₂(x,y,z):=x² + y² + z² − 1 definiert.

Mein nächster Schritt wäre jetzt

∇u(x,y,z)=λ₁∇g₁(x,y,z)+λ₂∇g₂(x,y,z) <=> (5,1,-3)=λ₁(1,1,1)+λ₂(2x,2y,2z)

Nach x,y,z umgestellt ergibt dann x=5-λ₁/(2λ₂), y=1-λ₁/(2λ₂) und z=-3-λ₁/(2λ₂). λ_{2≠0, da 5≠1≠-3 ist.}

Wie erhalte ich jetzt λ₁ bzw λ₂?. Ich hätte es in g₁(x,y,z) und in g₂(x,y,z) eingesetzt, dann herhalte ich (x,y,z)=(√2/2;0;-√2/2)

Ist das bisher richtig und wie zeige ich, dass das ein Extrema ist und kein Sattelpunkt.

Comments

Edit: Ich habe ein Satz in meiner Vorlesung gefunden, der besagt, dass es ein Maxima/Minima existieren muss, da es durch die Nebenbedingung beschränkt wird. Dann erhalte ich doch ein lokales Minima für (x,y,z)=(-√2/2;0;√2/2) und ein lokales Maximum für (x,y,z)=(√2/2;0;-√2/2)

Answer 1

Hallo,

Wie erhalte ich jetzt λ1 bzw λ2?.

Die Werte von \(\lambda\) werden i.A. bei diesen Aufgabe gar nicht benötigt. Das Ziel sollte sein, diese zu eliminieren. Mit

(5,1,-3)=λ1(1,1,1)+λ2(2x,2y,2z)

liegen drei Gleichungen vor, aus denen man nach Elimination von \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) eine machen kann. Ziehe dazu die erste Koordinatengleichung$$5 = \lambda_1 + \lambda_2 \cdot 2x$$ von den beiden anderen ab, dann fällt bereits das \(\lambda_1\) raus$$\begin{aligned}-4 &= \lambda_2 \cdot 2(y-x) \\ -8&= \lambda_2 \cdot 2(z-x)\end{aligned}$$und daraus folgt dann $$\begin{aligned} \implies -4 \cdot 2(z-x) &= -8 \cdot 2(y-x) \\ z-x &= 2(y-x) \\ x-2y+ z &= 0 \end{aligned}$$Zusammen mit den beiden Nebenbedingungen kommt man dann schnell zu den beiden Kandidaten für die Extremwerte$$x-2y+ z = 0 \land x+y+z = 0 \implies y=0 \land x=-z \\ x^2+0^2 +(-x)^2 = 1 \implies (x_1\mid z_1) = \frac12(\sqrt 2\mid-\sqrt 2), \quad (x_2\mid z_2) = \frac12(-\sqrt 2\mid\sqrt 2)\\\vec x_1 = \begin{pmatrix} \sqrt2/2\\ 0\\-\sqrt 2/2\end{pmatrix}, \quad \vec x_2 = \begin{pmatrix}-\sqrt2/2\\ 0\\ \sqrt2/2\end{pmatrix}$$

und wie zeige ich, dass das ein Extrema ist und kein Sattelpunkt.

In der Praxis ist dies im Allgemeinen nie ein Problem! Bei Aufgaben dieser Art reicht die räumliche Vorstellung. Die Nebenbedingungen definieren einen Kreis auf der Einheitskugel im Raum. Und da die Hauptbedingung eine lineare Funktion ist, kann es bei einer konvexen Kurve (dem Kreis) keine Sattelpunkte geben. Und was Maximum und Minimum ist, lässt sich leicht durch Einsetzen der Koordinaten in die Hauptbedingung klären.

Bei \(\vec x_1\) liegt das Maximum und bei \(\vec x_2\) das Minimum. Ich habe mal versucht das ganze in Geoknecht3D darzustellen:

(klick auf das Bild)

Die Nebenbedingung ist die Schnittmenge der grünen Ebene mit der Oberfläche der blauen Kugel. Die Funktion \(u(\vec x)\) wächst linear in Richtung des roten Vektors.

Gruß Werner