Frage u zu unser algebra

Question

IKAufgabe:

es sei P : R^n × R^n → R eine symmetrische Bilinearform und F die Gramsche Matrix von P bzgl. der Standardbasis. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1. Sind x,y∈R^n Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von F, so ist P(x,y)= 0 (d.h. x ⊥ y bzgl. P ).

Problem/Ansatz:hättet ihr vielleicht one idee danke

Answer 1

Vielleicht kann man ja daraus was machen ???

Wenn \(   e_1, \dots , e_n  \) die Standardbasis ist, gilt ja
\( F= \begin{pmatrix} P(e_1,e_1) & \dots & P(e_1,e_n) \\ \dots & \dots & \dots \\ P(e_n,e_1) & \dots & P(e_n,e_n) c\end{pmatrix} \)

Und x ein Eigenvektor von F zum Eigenwert k,

dann ist \(  F \cdot x =  k \cdot x \)

\(  F \cdot x =  \begin{pmatrix} P(e_1,e_1) & \dots & P(e_1,e_n) \\ \dots & \dots & \dots \\ P(e_n,e_1) & \dots & P(e_n,e_n) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix}   \)

\(  =  \begin{pmatrix} \sum \limits_{i=1}^n x_i \cdot P(e_1,e_i) \\  \dots \\ \sum \limits_{i=1}^n x_i \cdot P(e_n,e_i) \end{pmatrix}  \)

\(  =  \begin{pmatrix} \sum \limits_{i=1}^n P(e_1,x_i \cdot e_i) \\  \dots \\ \sum \limits_{i=1}^n P(e_n,x_i \cdot e_i) \end{pmatrix}  \)

\(  =  \begin{pmatrix}  P(e_1, \sum \limits_{i=1}^n x_i \cdot e_i) \\  \dots \\  P(e_n, \sum \limits_{i=1}^n  x_i \cdot e_i) \end{pmatrix}  \)

\(  =  \begin{pmatrix}  P(e_1, x) \\  \dots \\  P(e_n, x) \end{pmatrix}  \)

Answer 2

Sei \(\lambda\) der Eigenwert zu \(x\) und \(\mu\) der

Eigenwert zu \(y\), dann ist

\(P(x,y)=x^TFy=x^T(\mu y)=\mu(x\cdot y)\). Da \(P\) symmetrisch ist, ist das

dasselbe wie \(P(y,x)=y^TFx=(\lambda y)^Tx=\lambda(y \cdot x)=\lambda(x\cdot y)\).

Hieraus folgt \((\lambda-\mu)(x\cdot y)=0\), daher ...

Hier ist \(x\cdot y\) das Standardskalarprodukt.