Wie groß ist der Winkel ɗ = ADB, wenn der Winkel ɑ = BAC (= 28°) gegeben ist?

Question

Aufgabe: Wie groß ist der Winkel ɗ = ADB, wenn der Winkel ɑ = BAC (= 28°) gegeben ist?

Problem/Ansatz:

Mir fehlt hier leider der Lösungsansatz, da laut Aufgabenstellung der Mittelpunkt der Halbkreise nicht gegeben ist. Hat jemand eine Idee?

Answer 1

Hallo,

... da laut Aufgabenstellung der Mittelpunkt der Halbkreise nicht gegeben ist.

das kann so nicht sein. Der linke grüne Kreisbogen geht durch die Punkte $A$ und $E$. Und wenn der Punkt $B$ nicht sein Mittelpunkt wäre, dann wäre er völlig unnütz. Abgesehen davon wäre die Aufgabe nicht ausreichend beschrieben.

Genauso muss $A$ der Mittelpunkt des rechten Kreisbogens sein. Alles ander macht keinen Sinn. Und so lässt sich dann auch eine Lösung finden. Das Wissen, dass die drei Winkel in einem Dreieck 180° ergeben, reicht dazu aus.

Das Dreieck $\triangle ABC$ ist gleichschenklig, daher ist $\angle ACB = \angle CBA = \beta$ (gelb). Also ist$$2 \beta + \alpha = 180° \implies \beta = 90° - \frac{\alpha}{2}$$und der orange Winkel $\angle DCA = \gamma$ ist Nebenwinkel zu $\beta$$$\gamma = 180° - \beta = 90° + \frac{\alpha}{2}$$Der hellblaue Winkel muss $60°$ betragen, da $\triangle ABE$ ein gleichseitiges Dreieck ist. Und die Winkelsumme im Dreieck $\triangle ACD$ ist$$\begin{aligned}60° - \alpha + \gamma + \delta &= 180°\\\delta &= 180° - 60° + \alpha - \gamma\\ &= 120° + \alpha -90° - \frac{\alpha}{2}\\ &= 30° + \frac{\alpha}{2} = 44°\end{aligned}$$Eine alternative Lösung sähe so aus. Zeichen dazu zwei zu $AB$ orthogonale Geraden durch die Punke $B$ und $D$. Sowie eine zu $AD$ orthogonale Gerade durch $A$. Letztere ist die Symmetrieachse zu $\triangle ABC$ die $BD$ in $M$ schneidet.

Das Dreieck $\triangle ABM$ ist rechtwinklig und der Winkel $BAM$ (weiß) ist $\alpha/2$. Folglich muss der weiße Winkel bei $B$ ebenso $=\alpha/2$ sein und auch der Winkel $\angle H_dDB$ (weiß) (Wechselwinkel an Parallelen). Das Dreieck $\triangle AH_dD$ ist auch rechtwinklig. Daraus folgt, $\angle ADH_d = 30°$ (lila) und $$\delta = 30° + \frac{\alpha}{2}$$Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

in einigen anderen Aufgaben, die ich von meinem Professor bekam, wurde mit angegeben, welche die Mittelpunkte der Kreisbögen waren. Auf den ersten Blick dachte ich ja auch, dass A Mittelpunkt vom rechten und B Mittelpunkt vom linken Kreisbogen ist. Eindeutig war es allerdings nicht.

Vielen Dank für deine Ausführungen!

Gruß Mathias

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Wie gesagt wenn A und B nicht die Mittelpunkte wären dann wäre die Aufgabe nicht exakt beschrieben. E könnte bei beliebigem Mittelpunkt ja irgendwo auf AD liegen.

irreführend ist an der Aufgabe das die Tangente an den Kreisbogen in A und auch in B irgendwie nicht senkrecht zu AB ist oder ich brauche eine neue Brille :)

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irreführend ist an der Aufgabe das die Tangente an den Kreisbogen in A und auch in B irgendwie nicht senkrecht zu AB ist oder ich brauche eine neue Brille :)

das passt 100%'tig. Ist wohl eher 'ne optische Täuschung.

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Ich sag mal so, wäre ich meinem anfänglichen Gefühl gefolgt, dann hätte ich mit der Aufgabe kein Problem gehabt, da man ja alles nur über den Innenwinkel berechnen muss. Aber wie gesagt, in der Aufgabenstellung steht nichts von Mittelpunkten.
Naja, von den Studenten ist in der Prüfung wieder 100%ige Sorgfalt gefragt, aber wenn ich das hier in der nächsten Übung anspreche, dann heißt es wieder "das müssen Sie doch sehen".
Danke für eure Antworten!