Summe der Reihe 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + …

Question

Hallo

Ich soll die Summenschreibweise der Reihe f(x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + … angeben und anschließend den Konvergenzradius berechnen und das Verhalten der Reihe am Konvergenzradius untersuchen. Ich mir fehlt leider für die Summenschreibweise jeder Ansatz. Kann mir jemand weiterhelfen?

(:

Comments

Geht diese Reihe noch weiter?

Das hier ist eine endliche geometrische Reihe mit q = (-2x) , ao= 1 und n=3.

EDIT: Habe die Pünktchen oben eingefügt.

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In der Aufgabenstellung steht nur f(x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + ....

Wie stelle ich denn auf die korrekte Summenschreibweise auf?

Answer 1

1 - 2x + 4x²- 8x³  ...= ∑^∞_k=0  (-2x)^k . Absolut konvergent  für  |2x|<1 ⇔ |x|<1/2 

Nun untersuche den Rand:

x=1/2 : ∑^∞_k=0  (-1)^k  → (-1)^k ist keine Nullfolge, also divergent

 

x=-1/2  ∑^∞_k=0  (1)^k , gleiche Argumentation (1)^k ist keine Nullfolge, also divergent.

 

Der Grenzwert für |x|<1/2 ist 1/(1+2x)

Comments

ich war mal so unverschaemt und habe angenommen, dass x reell ist. Andernfalls muesste man unendlich viele Randpunkte ( Kreis um den Ursprung mit Radius 1/2) untersuchen.