Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z15x

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z₁₅^x

_{(a) Zyklische Untergruppen}

_{(b) Es sei U eine nicht zyklische Untergruppe.}

    _{i. Wenn U ein Element der Ordnung vier enthält, dann gilt U = G}

    _{ii. ΙUΙ ≥ 4} 

    _{iii. Daher bleibt nur eine Möglichkeit. Ist das eine Untergruppe?}

Problem/Ansatz:

Zu (a): die zyklischen Untergruppen müssten sich doch aus den Elementen von Z₁₅^x bilden lassen oder nicht? also den Restklassengruppen 1,2,4,7,8,11,13, 14 hoch k, für ein k aus Z

Zu (b): Warum gilt U = G, wenn U ein Element der Ordnung vier enthält???

Answer 1

Zu b)  Wenn U ein Element der Ordnung vier enthält, dann ist |U| ≥ 4. Da U aber nicht zyklisch sein soll, kann nicht |U| = 4 sein. Da |U| ein Teiler von |G| ist, bleibt nur |U| = 8 übrig und damit U = G.

Zu iii)  Die nach meinen Berechnungen einzige nicht zyklische Untergruppe ist U = {1,4,11,14}.
Es gibt noch zwei zyklische Untergruppen der Ordung vier, nämlich ⟨2⟩ = ⟨8⟩, sowie ⟨7⟩ = ⟨13⟩.

Comments

Danke für deine Antwort :)

Wie hast du die nicht zyklische Untergruppe berechnet? Das sind dann ja die restlichen Elemente aus Zx15. Muss ich dann nochmal zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt?

Und zu den zyklischen Gruppen: Kann man das genauso aufschreiben ? Also ist <2> dann quasi eine Gruppe?

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Und ist IUI nicht auch vier und wäre die Gruppe dann nicht doch zyklisch?

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Die Untergruppe {1,4,11,14} ist nicht zyklisch, denn es ist kein Element der Ordnung vier darin enthalten. (Alle Elemente sind von der Ordung eins oder zwei.) Dass es tatsächlich eine Untergruppe ist, sollte man aber in der Tat noch nachweisen.

Die Schreibweise ⟨2⟩ meint die vom Gruppenelement 2 erzeugte (zyklische) Untergruppe, d.h.
⟨2⟩ = {2^k | k ∈ ℤ} = {2⁰,2¹,2²,2³} = {1,2,4,8}. Man findet so alle zyklischen Untergruppen, indem man ⟨g⟩ für jedes Gruppenelement g bestimmt.