Gleichungssystem in Abhängigkeit von t

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

5. $t$ sei eine reelle Zahl. Lösen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit vo $t \neq 0$ : $\mathrm{tx}_{1}+\mathrm{x}_{2} / \mathrm{t}+\mathrm{x}_{3}=1 \quad \mathrm{x}_{1}+\mathrm{tx}_{2}+\mathrm{x}_{3} / \mathrm{t}=1 \quad \mathrm{x}_{1} / \mathrm{t}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{tx}_{3}=1$
Lösung (4 Pkt) Aus Symmetriegründen wählen wir den Ansatz $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x$. Das liefert für $t^{2}+t+1 \neq 0$ die Lösung $x=t /\left(t^{2}+t+1\right)$. Da $t^{2}+t+1 / 4 \geq 0$ gilt, ist die Bedingung $t^{2}+t+1 \neq 0$ immer erfüllt.

Die Determinante der Koeffizientenmatrix $\left(t^{3}-1\right)^{2} / t^{3}$ wird für $t=1$ gleich Null. Für $t=1$ kann $x_{1}$ und $x_{2}$ beliebig gewählt werden, $x_{3}=1-x_{2}-x_{3}$.

Problem/Ansatz:

Hallo an Allen.

Ich versuche seit Zwei Tagen an gleiche Lösung zu kommen klappt es nicht könnte mir jemand bitte die Lösungsweg ausführlich erklären.

Danke Sehr im Voraus

Answer 1

$\begin{pmatrix} x*t & + y/t &+ z &= 1 \\ x &+ y*t &+ z/t &= 1 \\ x/t & + y & + z*t &= 1 \end{pmatrix}$

Sei t != 0:

$\begin{pmatrix} x*t^2 & + y &+ z*t &= t \\ x*t &+ y*t^2 &+ z &= t \\ x & + y*t & + z*t^2 &= t \end{pmatrix}$

Da man in allen Zeilen das gleiche Ergebnis erhält, und die x,y,z mit den unterschiedlichen Faktoren gleichermaßen beaufschlagt werden, muss x=y=z gelten.

Sei x=y=z=a:

$\begin{pmatrix} a*t^2 & + a &+ a*t &= t \\ a*t &+ a*t^2 &+ a &= t \\ a & + a*t & + a*t^2 &= t \end{pmatrix}$

Dann folgt aus jeder Zeile

$a= \frac{t}{t^2+t+1}$

Das GLS hat somit für t²+t+1 != 0 die Lösung x=a, y=a, z=a, mit Ausnahme von t=0.