Verpackungsform für Schokoladenbonbons

Question

Aufgabe:

Eine Firma plant eine neue Verpackungsform für Schokoladenbonbons. Bisher wurde das Produkt in einer Verpackung der Form eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes verkauft. Die Punkte A (10|0|0), B (10|10|0), C (0|10/0), D (0|0|0) und G (8|2|8) beschreiben einige Eckpunkte (1 LE entspricht 1 cm).

Im Jubiläumsjahr der Firma soll die Form leicht variiert werden. Dazu soll die Schachtel entlang einer Ebene durch die Punkte E, S und S₂ geteilt werden, sodass eine neue Deckfläche entsteht. Die Punkte S (9|1|4) und S₂ (1|9|4) sollen dabei fest sein und E (h|h|4h) mit h ∈ ℝ wird entlang der hinteren Kante k variiert.

a) Geben Sie den Definitionsbereich für h an, sodass die Punkte E_n auf der hinteren Kante k des Pyramidenstumpfes liegen.

b) Bestätigen Sie, dass die Punkte F_n auf der vorderen rechten Kante k₂ des Pyramidenstumpfes durch F = (7h - 25 durch h-3 |7h - 25 durch h-3 | 12h - 20 durch h-3) beschrieben werden.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz, wie ich an die Aufgabe rangehen soll…. Muss ich eine Geradengleichung aufstellen? Wenn ja mit welchen Punkten? Wäre cool, wenn mir jemand bei a und b helfen könnte…

Das Bild, beschreibt die Situation ;)

Answer 1

a) Geben Sie den Definitionsbereich für h an, sodass die Punkte En auf der hinteren Kante k des Pyramidenstumpfes liegen.

Muss ich eine Geradengleichung aufstellen?

Nein. Du sollst den Definitionsbereich von h angeben. Sodass E(h|h|4h) auf der hinteren Kante k liegt. Die hintere Kante verläuft dabei von (0|0|0) bis (2|2|8).

Damit sollte 0 ≤ h ≤ 2 gelten, oder?

Comments

b) Bestätigen Sie, dass die Punkte Fn auf der vorderen rechten Kante k2 des Pyramidenstumpfes durch F((7h - 25)/(h - 3) | (7h - 25)/(h - 3) | (12h - 20)/(h - 3)) beschrieben werden.

Sei M der Mittelpunkt zwischen S1 und S2. Dann ist M(5 | 5 | 4).

Lege jetzt eine Gerade durch E und M und Berechne damit F

EM = [5 - h, 5 - h, 4 - 4h]

F = [5, 5, 4] + r[5 - h, 5 - h, 4 - 4h] = [10-x, 10-x, 4x] --> r = 2/(3 - h) ∧ x = (3·h - 5)/(h - 3)

Also

F = [10 - ((3·h - 5)/(h - 3)), 10 - ((3·h - 5)/(h - 3)), 4((3·h - 5)/(h - 3))] = [(7·h - 25)/(h - 3), (7·h - 25)/(h - 3), (12·h - 20)/(h - 3)]

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Statt F zu berechnen kannst du auch nur zeigen dass E, M und F auf einer Geraden liegen.

MF = [(7·h - 25)/(h - 3) - 5, (7·h - 25)/(h - 3) - 5, (12·h - 20)/(h - 3) - 4]
= [(2·h - 10)/(h - 3), (2·h - 10)/(h - 3), (8·h - 8)/(h - 3)]
= [-2/(h - 3)·(5 - h), -2/(h - 3)·(5 - h), -2/(h - 3)·(4 - 4·h)]
= -2/(h - 3)·[5 - h, 5 - h, 4 - 4·h]
= -2/(h - 3)·EM