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Aufgabe:

Zu Zeigen oder Widerlegen:

1.\frac{\log_{}{x}^{\log_{}{x}}}{P(x)}>1,\\


2.\frac{\log_{}{x}^{\log_{}\log_{}{x}}}{P(x)}<1


Problem/Ansatz:

Zu 1.

\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\log_{}{x}^{\log_{}{x}}}{x^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z^z}{(2^z)^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{\sqrt[z]{z^z}}{\sqrt[z]{(2^z)^k}}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z}{{(2)^k}}\rightarrow \infty

Da k beliebig aber fest ist, sollte 1. wahr sein.

Zu 2.


\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\log_{}{x}^{\log_{}{(\log_{}{x})}}}{x^k}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2^{\log{}{(\log{}{x})}^{2}}}{(x)^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{2}{\sqrt[\log{}{(\log{}{x})}^{2}]{x^k}}


Wenn bis hierhin alles richtig ist, dann fehlt nur noch wenig.

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 ist bekannt

vor von

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