Wert des Mittelpunkts einer Einheitskreisscheibe einer harmonischen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei u : R²  => R eine stetige und in Inneren der Einheitskreisscheibe harmonische Funktion. In Polarkoordinaten erfüllt u auf dem Rand mit r = 1: $$u(r,\phi)a = 3\phi^2$$ für $$-\pi <= \phi <= \pi$$,

Dann ist der Wert von u im Mittelpunkt also bei r= 0:= ?

Das Ergebnis ist $$\pi^2$$:
Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf das Ergebnis, also ich habe mir gedacht es muss irgendiwe etwas mit dem Mittelwertsatz zutun haben bzw polarkoordinaten sind ja $$z= r*e^i\phi$$, aber komme beim besten grübeln nicht dahinter!

Comments

Hallo

irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht. "Das Ergebnis ist π²

lässt denken es ginge vielleicht um eine Fläche?

Was genau ist denn die aufgabe zu u?

was ist das a hinter u?

lul

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Hi!

Ups das a ist ein fehler sollte garnicht da sein, $$\pi^2$$ ist das Ergebnis also was u für einen Wert annimmt im Mittelpunkt, wenn der radius eben 0 ist. Ist quasi nicht der Wert des Winkels im Mittelpunkt gefragt? Oder wird die Fläche gemeint, so ist die Aufgabe gestellt!

Sprich was ist u(0,phi)=

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Es gibt den schönen Satz, dass eine harmonische Funktion schon alleine dadurch vollständig definiert ist, wenn man ihre Werte auf dem Rand eines Gebietes kennt.

Und es gibt die Mittelwertgleichung, die speziell eine Aussage über den Wert im Mittelpunkt einer Kreisscheibe macht.