Integrieren im RN Jordanintegral

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2
Es bezeichne $D$ das rechtwinklige Dreieck in $\mathbb{R}^{2}$ mit den Eckpunkten $(0,0),(1,0)$ und $(1,1)$. Weiter sei
$\mathbf{1}_{D}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto \mathbf{1}_{D}(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \notin D \end{array}\right.$
die Indikatorfunktion auf $D$.
(a) Bestimmen Sie den unteren beziehungsweise oberen Jordan-Inhalt der Menge $D$. Verwenden Sie dafür die Zerlegungen
$Z_{n}:=\left\{\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right): i, j \in\{0,1, \ldots, n\}\right\}, \quad n \in \mathbb{N} .$

Aufgabe: Hier soll der untere und obere Jordan Inhalt mit Hilfe einer Folge von Zerlegungen berechnet werden.

Problem/Ansatz: In der vorliegenden Lösung verstehe ich die rot markierten Zeilen nicht:

1.Problem:Warum ist die Funktion konstant 0,wenn j >i+1 usw.

2.Problem: Wie kommt man auf den Indexshift bei der Summation

Vielen Dank im Voraus.

Text erkannt:

$\sum \limits_{i=1}^{k} i=\frac{k(k+1)}{2}, \quad k \in \mathbb{N} .$
(a) Es sei $n \in \mathbb{N}$. Wir definieren für $i, j \in\{1, \ldots, n\}$
$Q_{i, j}:=\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right] \times\left[\frac{j-1}{n}, \frac{j}{n}\right] .$
Damit gilt $\left|Q_{i, j}\right|=\frac{1}{n^{2}}$ für alle $i, j \in\{1, \ldots, n\}$. Ist $j>i+1$, so ist die Funktion $\mathbf{1}_{D}$ auf dem Quadrat $Q_{i, j}$ konstant 0 . Im Falle $j<i$ ist $\mathbf{1}_{D}$ auf $Q_{i, j}$ konstant 1 . Gilt hingegen $j=i$ oder $j=i+1$, so erhalten wir
Insgesamt erhalten wir für die Untersumme
und analog für die Obersumme
$\begin{aligned} O\left(\mathbf{1}_{D}, Z_{n}\right) &=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \sup _{D}\left(Q_{i, j}\right) \cdot\left|Q_{i, j}\right|=\frac{1}{n^{2}}\left(n-1+\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{i} 1\right)=\frac{1}{n^{2}}\left(n-1+\sum \limits_{i=1}^{n} i\right) \\ &=\frac{1}{n^{2}}\left(n-1+\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{n^{2}+3 n-2}{2 n^{2}} \end{aligned}$
Damit folgen
$\begin{array}{l} \bar{J}(D)=\bar{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right) \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} O\left(\mathbf{1}_{D}, Z_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+3 n-2}{2 n^{2}}=\frac{1}{2}, \\ \underline{J}(D)=\underline{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right) \geq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} U\left(\mathbf{1}_{D}, Z_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-n}{2 n^{2}}=\frac{1}{2} . \end{array}$
Somit erhalten wir $\frac{1}{2} \geq \bar{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right) \geq \underline{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right) \geq \frac{1}{2}$ und schlieBlich
$\bar{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right)=\underline{J}\left(\mathbf{1}_{D},[0,1]^{2}\right)=\frac{1}{2}$

Comments

Da wird von der charakteristischen Funktion auf $D$ gesprochen. Was ist $D$?

---

Ich hab die Aufgabenstellung jetzt hinzugefügt,hab ich vergessen.D sei ein rechtwinkliges Dreieck im R^2.Die Eckpunkte des Dreiecks D sind (0,0),(1,1),(1,0).

Answer 1

Das Quadrat $Q_{i,j}$ liegt im Dreieck $D$ wenn die Oberkante des Quadarats unterhalb oder auf der Winkelhalbierenden liegt. D.h. es muss gelten $\frac{j}{n} \le \frac{i-1}{n}$ oder anders geschrieben $j \le i-1$ oder auch $j < i$

In diesem Fall ist $\mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 1$

Das Quadrat $Q_{i,j}$ liegt nicht im Dreieck $D$ wenn die Unterkante des Quadarats oberhalb der Winkelhalbierenden liegt. D.h. es muss gelten $\frac{j-1}{n} > \frac{i}{n}$ oder anders geschrieben $j > i+1$

In diesem Fall ist $\mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 0$

Damit bleiben noch zwei Möglichkeiten offen, nämlich $j = i+1$ und $j=i$

Bei $j = i$ teilt die Winkelhalbierende gerade das Quadrat $Q_{i,j} = Q_{i,i}$ Deshalb ist das

$\inf \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 0$ und das $\sup \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 1$ weil Werte des Quadrats innerhalb und außerhalb des Dreiecks $D$ liegen.

Im Fall $j = i+1$ liegt die untere rechte Kante des Quadrats gerade auf der Winkelhalbierenden. Deshalb gibt es auch hier Werte des Quadrats, die im und nicht im Dreieck $D$ liegen und es gilt wieder

$\inf \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 0$ und das $\sup \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) = 1$

Jetzt zur Berechnung der Untersumme

$$U(\mathbb{1}_D,Z_n ) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \inf \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right) \cdot \left| Q_{i,j} \right|$$

Wegen $\left| Q_{i,j} \right| = \frac{1}{n^2}$ gilt also

$$U(\mathbb{1}_D,Z_n ) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \inf \mathbb{1}_D\left(Q_{i,j}\right)$$

Wie aber oben beschrieben ist das Infimum für $j > i$ aber Null und für $j \le i-1$ Eins. Deshalb hat die Summierung nur bis $j = i-1$ zu erfolgen.

Es gilt also

$$U(\mathbb{1}_D,Z_n ) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} 1$$ da $i-1 < 1$ für $i = 1$ gilt, beginnt die Summierung bzgl. des Indexes $i$ erst bei $2$, also

$$U(\mathbb{1}_D,Z_n ) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} 1$$

Bei der Obersumme geht es in etwa ebenso.

Ich habe es so berechnet

$$O(\mathbb{1}_D,Z_n ) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i+1} 1 = \frac{1}{n^2} \left( \frac{n(n+1)}{2} + n \right)$$

mein Ergebnis unterscheidet sich etwas von Deiner Lösung. Entweder ist die Musterlösung falsch oder ich hab mich verrechnet. Am Endergebnis ändert sich allerdings nichts.