Normalbereich Typ 2, Integration

Question

Aufgabe:

Integration im Normalbereich vom Typ 2.

Problem/Ansatz:

Gegeben sei:

Grenzen des Normalbereichs 1:

0<=x<=1 und 0<=y<=x^2

Als Erstes berechne ich neue Grenzen für die alte y-Komponente:

Da berechne ich die Umkehrfunktionen von 0 und x^2, die neuen y-Grenzen wären also 0 und sqrt(y).

Dann die Alten x-Komponenten in die vorher berechneten y einsetzen:

Für neues x also 0 und 1.

Für die neuen x Grenzen soll man aber 1+y und sqrt(y) bekommen.

Ich versuche ohne eine Veranschaulichung klar zu kommen.

Was mache ich falsch? Danke!

Comments

Warum ohne Veranschaulichung auskommen zumindest, wenn man fragt  was mache ich falsch?

lul

---

soll man aber 1+y und sqrt(y) bekommen.

Stimmt das so, oder ist es sqrt(y) und 1?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig deute, ist eine Punktmenge$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 1\;\land\;0\le y\le x^2\}$$gegeben, deren Parametrisierung so umgeschrieben werden soll, dass \(y\) eine feste Unter- und Obergrenze hat.

Die Menge \(M\) beschreibt die Fläche unterhalb einer Parabel:

~plot~ (x^2)*(x>=0)*(x<=1) ; [[0|1,1|0|1,1]] ~plot~

Wegen \(x\in[0;1]\) ist auch \(y\in[0;1]\). Wenn wir nun ein \(y\) aus \([0;1]\) beliebig aber fest auswählen, liegen die möglichen \(x\)-Werte im Intervall \((\sqrt y\,;\,1)\).

Daher kann die Menge \(M\) auch wie folgt parametrisiert werden:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,\sqrt y\le x\le 1\;\land\;0\le y\le 1\}$$

Comments

Wieso würden dann die möglichen X-Werte im Intervall (sqrt(y);1) liegen?

---

Schau dir mal den Graphen genau an. Wenn du einen \(y\)-Wert fest wählst, dann suchst du den zugehörigen Punkt auf dem Graphen. Dieser liegt bei \((\sqrt y\,;\,y)\), denn Die \(x\)-Koordinate ist ja die Wurzel aus der \(y\)-Koordinate. Um nun alle Punkte zu erhalten, die denselben \(y\)-Wert haben und in der Integrationsfläche liegen, musst du von \(x=\sqrt y\) bis zu \(x=1\) laufen und den \(y\)-Wert festhalten. Daher ist \(x\in[\sqrt y;1]\).