Normalbereich Typ 2, Integration

Question

Aufgabe:

Integration im Normalbereich vom Typ 2.

Problem/Ansatz:

Gegeben sei:

Grenzen des Normalbereichs 1:

0<=x<=1 und 0<=y<=x²

Als Erstes berechne ich neue Grenzen für die alte y-Komponente:

Da berechne ich die Umkehrfunktionen von 0 und x², die neuen y-Grenzen wären also 0 und sqrt(y).

Dann die Alten x-Komponenten in die vorher berechneten y einsetzen:

Für neues x also 0 und 1.

Für die neuen x Grenzen soll man aber 1+y und sqrt(y) bekommen.

Ich versuche ohne eine Veranschaulichung klar zu kommen.

Was mache ich falsch? Danke!

Comments

Warum ohne Veranschaulichung auskommen zumindest, wenn man fragt  was mache ich falsch?

lul

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soll man aber 1+y und sqrt(y) bekommen.

Stimmt das so, oder ist es sqrt(y) und 1?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig deute, ist eine Punktmenge$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 1\;\land\;0\le y\le x^2\}$$gegeben, deren Parametrisierung so umgeschrieben werden soll, dass $y$ eine feste Unter- und Obergrenze hat.

Die Menge $M$ beschreibt die Fläche unterhalb einer Parabel:

~plot~ (x^2)*(x>=0)*(x<=1) ; [[0|1,1|0|1,1]] ~plot~

Wegen $x\in[0;1]$ ist auch $y\in[0;1]$. Wenn wir nun ein $y$ aus $[0;1]$ beliebig aber fest auswählen, liegen die möglichen $x$-Werte im Intervall $(\sqrt y\,;\,1)$.

Daher kann die Menge $M$ auch wie folgt parametrisiert werden:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,\sqrt y\le x\le 1\;\land\;0\le y\le 1\}$$

Comments

Wieso würden dann die möglichen X-Werte im Intervall (sqrt(y);1) liegen?

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Schau dir mal den Graphen genau an. Wenn du einen $y$-Wert fest wählst, dann suchst du den zugehörigen Punkt auf dem Graphen. Dieser liegt bei $(\sqrt y\,;\,y)$, denn Die $x$-Koordinate ist ja die Wurzel aus der $y$-Koordinate. Um nun alle Punkte zu erhalten, die denselben $y$-Wert haben und in der Integrationsfläche liegen, musst du von $x=\sqrt y$ bis zu $x=1$ laufen und den $y$-Wert festhalten. Daher ist $x\in[\sqrt y;1]$.