Erzeugen die Vektoren ein Erzeugendensystem?

Question

Aufgabe:

Erzeugen die Vektoren ein Erzeugendensystem?

Problem/Ansatz:

Ich will nochmal sichergehen bei dieser Aufgabestellung.

Ich würde als erstes die lineare Unabhängigkeit prüfen z. B. bei den drei Vektoren v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) in ℝ³

Wenn das Ergebnis linear unabhängig ist, dann ist es ein Erzeugendensystem und bei Abhängigkeit ist es kein Erzeugendensystem?

Was ist, wenn ich mehr oder weniger Vektoren habe als die Dimension z. B. 4 Vektoren im 3 Dimensionalen Raum oder 2 Vektoren im 3 Dimensionalen Raum? Muss man trotzdem rechnen, z. B. mit Gauß oder kann man dies sofort erkennen?

Answer 1

Wenn du genau soviel Vektoren hast wie die Dimension, dann bilden die ein Erzeugendensystem wenn sie linear unabhängig sind. Ansonsten musst du zeigen, dass sich jeder Vektor durch sie darstellen lässt.

Comments

Das heißt prinzipiell, dass man immer z. B. per Gauß die Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zeigen muss und das wars?

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Nur wenn du die Dimension kennst.

Ansonsten musst du zeigen, dass sich jeder Vektor durch sie darstellen lässt.