Erzeugendensystem Polynome ( beweisen , dass die Vektoren ein Basis darstellen)

Question

 Sei \( \left(\mathbb{R}_{\leq k}[x],+, \cdot\right) \) der Vektorraum der Polynomen vom Grad \( \leq k, \) wobei
\( \mathbb{R}_{\leq k}[x]=\left\{a_{k} x^{k}+a_{k-1} x^{k-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}: a_{i} \in \mathbb{R} \text { für alle } i \in\{0,1, \ldots, k\}\right\} \)

Welche der folgenden Mengen von Vektoren in \( \mathbb{R}_{\leq 1}[x] \) stellt eine Basis des \( \mathbb{R}_{\leq 1}[x] \) dar.

\( T_{2}=\{-x+1,2 x+2\} \)

 

Die Vektoren sind linear unabhängig. Jetzt ich muss zeigen , dass die auch ein EZS sind. (ich weiss dass ich Basis mit Anzahl der Vektoren nachweisen kann, will aber jetzt EZS nachweisen). Ich habe so angefangen und weiss nicht wie es weiter geht?

Answer 1

Du bist doch fast fertig, musst nur noch zeigen, dass es
zu allen ao und a1 immer Lambda1 und Lambda2 gibt, so dass
die Gleichung stimmt.
Du musst also dein Gl.syst. nur nach Lambda1 und Lambda2
auflösen.

Comments

soll dann  λ1 = λ₂  sein oder einfach zeigen dass es lösbar ist?

bei mir kommt raus λ1=(a₀-4a₁)/4  und λ2= (a₀+a₁)/4. Bin ich damit fertig?

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bei mir kommt raus λ1=(a₀-4a₁)/4  und λ2= (a₀+a₁)/4. Bin ich damit fertig? JA!

Answer 2

Zunächst; man spricht von dem Raum der Polynome vom Grade n ; nicht Grad < = n .  Gemeint ist das Selbe. Schau mal in Wiki; Definition der Basis. Du das hatten wir nicht mal im Studium; bitte lerne es auswändig


    Satz und Definition 


        Ein System von Vektoren  heißt Basis, wenn es eine der vier äquivalenten Eigenschaften besitzt:


    1)   eindeutig Erzeugendes
    2)  Minimales Erzeugendes
    3) linear unabhängiges Erzeugendes
    4) maximal linear Unabhängiges


    ist  ( Erläuterungen und Beweis; alles in Wiki. )



      Ich würde für Variante 4 plädieren, da der Raum aller Polynome ersten Grades ja zweidimensional ist. Maximal linear unabhängig heißt demnach n = 2 .
   Ist dir die Aussage des ===> Austauschsatzes von Steinitz bewusst; die Dimension ist eine Invariante. Das Rad musst du nicht immer wieder neu erfinden.

Comments

Wieso spricht man vom Raum der Polynome vom Grad n? Das ist doch nicht mal ein Vektorraum.

Außerdem: Für die Variante 4 muss man wissen, welche Dimension dieser Vektorraum hat. Wenn man gerade erst angefangen hat, sich mit Vektorräumen zu beschäftigen, hat man dieses Wissen noch nicht unbedingt. Es ist auch mal ganz gut, solche Sachen elementar direkt mit der Definition zu beweisen.