Mit Hilfe des Minimalpolynoms die Inverse bilden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie A−1 aus Aufgabe 2 mit Hilfe des Minimalpolynoms.

\( A=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe einfach nicht so richtig, wie ich bei dem Verfahren weitermachen muss.

Minimalpolynom habe ich berechnet ( müsste (1-X)^2 * (2-X)=0) sein.

Vielen Dank für jegliche Tipps :)

Answer 1

Minimalpolynom habe ich berechnet ( müsste (1-X)2 * (2-X)=0) sein.

Ich gehe mal davon aus, dass du richtig gerechnet hast.

Minimalpolynome sind normiert, also korrekter ist

\(\mu=(X-1)^2(X-2)=X^3-4X^2+5X-2\). Also haben

wir die Matrizengleichung

\(A^3-4A^2+5A=2E_4\). Da \(A\) invertierbar ist, können wir diese

Gleichung mit \(A^{-1}\) multiplizieren und erhalten so

\(2A^{-1}=A^2-4A+5E_4\). ...