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Die Einkommensverteilung \(E\) in Deutschland ist normalverteilt mit$$\mu=3000\,€\quad;\quad\sigma=1600\,€$$Als arm gilt man mit weniger als \(1500\,€\).
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkelt zufällig ein Haushalt auszuwählen, der unter diesen Annahmen
als arm gilt?
$$P(E<1500)=\phi\left(\frac{1500-\mu}{\sigma}\right)=\phi(-0,9375)\approx0,17425\approx17,43\%$$
Ab welchem Einkommen gehört ein Haushalt zu den obersten 10% mit dem höchsten Einkommen? (Antwort ganzzahlig gerundet -> z.B. 2800)
$$P(E>x)=0,1\implies P(E<x)=1-0,1=0,9\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,9\implies$$$$\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,9)\approx1,281552\implies x=1,281552\cdot\sigma+\mu\implies x=5050\,€$$
Wie hoch ist die obere Grenze des zentralen Schwankungsintervalls zur Wahrscheinlichkeit 1-a = 0,9, für das Haushaltseinkommen? (wieder, ganzahlig gerundet)
Das zentrale 90%-Intervall geht von \(5\%\) bis \(95\%\). Wir suchen die Obergrenze.$$P(E<x)=0,95\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,95\implies$$$$\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,95)\approx1,644854\implies x=1,644854\cdot\sigma+\mu\implies x=5632\,€$$
