Wie beweise ich die Konvergenz?

Question

Aufgabe:

Es sei nun \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen mit \( \left|a_{n}\right| \leq 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Betrachten Sie die Folge \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen, definiert durch

\( b_{n}:=\frac{a_{n}+2}{a_{n}-2} \)

für alle \( n \in \mathbb{N} \). Stellen Sie eine Vermutung auf, ob diese Folge im Allgemeinen für \( n \rightarrow \infty \) einen Grenzwert besitzt, und beweisen Sie diese.

Answer 1

Betrachtet mal \(a_n=(-1)^n\frac{1}{2}\). Was kann man in diesem Fall

über \(b_n\) sagen?

Comments

Danke, aber ich kann ja nicht einfach an wählen? an könnte ja gegen nur 1 konvergieren.

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Die Frage lautete, ob die Folge im Allgemeinen konvergiert,

d.h. bei jeder reellen Folge \(a_n\) mit \(|a_n|< 1\) und mein

Beispiel zeigt, dass dies nicht der Fall ist.

Natürlich gibt es auch Folgen \(a_n\), so dass die \(b_n\)

konvergieren ...

Man kann also keine Aussage darüber treffen, ob \(b_n\)

konvergiert oder nicht, wenn man keine weiteren Informationen

über \(a_n\) hat.