Aufgabe:
Sei (Xn)n∈N eine Folge nichtnegativer reeller i.i.d. Zufallsvariablen, die nicht
fast sicher verschwinden. Wir können die aufeinanderfolgenden Zufallsvariablen als ”
Lebenszeiten“ gewisser Gebrauchsgegenstände (z.B. Batterien) interpretieren, die nach Ausfall unmittelbar ersetzt werden. Wir setzen N_t als die Anzahl der Ausfälle bis einschließlich der Zeit t, d.h. {N_t = n} = {Sn ≤ t < Sn+1} fur alle n ∈ N0, wobei S_0 := 0 und S_n := X_1 + · · · + X_n, n ∈ N.
Zeige:
a) N_t ist eine Zufallsvariable fur jedes 0 ≤ t < ∞.
b) N_t < ∞ fast sicher fur alle 0 ≤ t < ∞.
c) lim N_t = ∞ fast sicher.
Problem/Ansatz:
wie beweise ich die aussagen Nt ist doch als aussage schon eine zufallsvariale oder?
