Begründen Sie, dass f auf der Menge {(x,y)T ∈ ℝ | x2 + y2 = π2} ein globales Minimum annimmt.

Question

Sei f : ℝ² → ℝ gegeben durch f(x,y) = x² - 3xy² +y⁴

Begründen Sie, dass f auf der Menge {(x,y)^T ∈ ℝ | x² + y² = π²} ein globales Minimum annimmt.

Comments

HALLO

du weisst doch sicher wie man kritische Punkte einer Fläche unter Nebenbedingungen findet? also musst du schon sagen, wo du hier scheiterst.

Gruß lul

Answer 1

Nun ja, \(f\) ist stetig und \(M = (x^2 + y^2 - \pi^2)^{-1}[\{0\}] \) das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion, also ist \(M\) abgeschlossen. Weiterhin ist \(M\) beschränkt, da gilt \(-\pi\leq x, y \leq \pi\). Also nimmt \(f\) auf \(M\) sowohl ein Minimum als auch ein Maximum an. Schaffst du es nun noch zu begründen, dass dies ein globales Minimum sein muss?