Zeige, dass f(x,y) = 1/p * x^p + 1/q * y^q unter der Bedingung xy=1 ein globales Minimum annimmt.

Question

Wie zeige ich, dass die Funktion unter der Nebenbedingung xy=1 ein globales Minimum annimmt?

Höldersche Ungleichung

Answer 1

wegen xy=1 hast du y = x^-1  

also f(x,y) = f(x,x^-1 ) = f(x) = (1/p) * x^p  +  (1/q)*x^-q 

gibt f ' (x) =  x^p-1  -  x^-q-1 

Wegen 1/p + 1/q = 1 hast du p=q / (q-1)

also f ' (x) = 0

<=> x^{q / (q-1) -1}  -  x^-q-1  = 0


<=> x^{1/ (q-1)} ( 1  -  x^-q*q/(q-1)  = 0

wegen x>0 also nur erfüllt für x=1.

==> für alle u,v         f(u,v) ≥ f ( 1, 1 ) = 1/p + 1/q = 1 . 

f ' ' (1) = p+q  > 0 , also Min. bei x=1 .

Einziges Min. einer stetigen Fkt ==> globales Min. 

Comments

Einziges Min. einer stetigen Fkt ==> globales Min.

Na, so einfach geht das aber nicht!