Partielle Ableitungen zu allgemeiner Ableitung

Question

Aufgabe:

Sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und
$F:] a, b\left[^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto F\left(x_{1}, x_{2}\right)=\int \limits_{x_{1}}^{x_{2}} f(t) \mathrm{d} t .\right.$
(a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von $F$.
(b) Weisen Sie nach, dass $F$ stetig differenzierbar ist. Geben Sie die Ableitung von $F$ an.

Die partiellen Ableitungen von F hab ich bereits errechnet mit:

Nach x₁  : F' = -f(x₁)

Nach x₂ : F' = f(x₂)

Nun weiß ich nicht, wie ich die allgemeine Ableitung von F in b) angeben soll.

Answer 1

Aloha :)

Willkomme in der Mathelounge... \o/$$F\colon(a;b)^2\to\mathbb R\,,\,(x;y)\mapsto F(x;y)=\int\limits_x^y f(t)\,dt\quad;\quad f\colon[a;b]\to\mathbb R\text{ stetig}$$

zu a) Wir bestimmen die partiellen Ableitungen von $F$. Da die Funktion $f$ stetig ist, ist sie auch integrierbar, eine Stammfunktion sei $S(x)$. Dann gilt:$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\int\limits_{x}^yf(t)\,dt=\frac{\partial}{\partial x}\left(S(y)-S(x)\right)=-\frac{\partial S(x)}{\partial x}=-f(x)$$$$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int\limits_{x}^yf(t)\,dt=\frac{\partial}{\partial y}\left(S(y)-S(x)\right)=\frac{\partial S(y)}{\partial y}=f(y)$$

zu b) Die beiden partiellen Ableitungen der Funktion $F(x;y)$ existieren und sind offenbar stetig, weil $f$ stetig ist. Damit ist $F$ stetig partiell differenzierbar, woraus die totale Differenzierbarkeit folgt. Das totale Differential lautet:$$dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=-f(x)\,dx+f(y)\,dy=\underbrace{\binom{-f(x)}{f(y)}}_{=\operatorname{grad}F(x;y)}\binom{dx}{dy}$$

Die Ableitung einer Funktion $F$ meherer Veränderlicher ist die Jacobi-Matrix. Diese enthält die Gradienten aller Komponentenfunktionen als Zeilen. Da $F$ in die reellen Zahlen $\mathbb R$ abbildet, haben wir nur eine Komponentenfunktion und können die Jacobi-Matrix von $F$ angeben:$$J_F(x;y)=\begin{pmatrix}-f(x) & f(y)\end{pmatrix}$$