Nullstelle stetiger Funktion

Question

Aufgabe:

Eine Funktion f : [0, 1] → R hat sicherlich eine Nullstelle, wenn…

f(0)>0 und f(1)<0 und f stetig ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, das oben geschriebene ist die Lösung einer Multiple Choice Aufgabe.

Ich verstehe nur nicht genau, warum das so richtig ist und wie ich das mit der f(0)>0 und f(1)<0 interpretieren soll. Wäre dankbar für hilfreiche Erklärungen.

Answer 1

Einmal liegt der Funktionswert über der x-Achse und einmal darunter. Wenn du jetzt beide Punkte verbindest musst du mind. einmal die x-Achse schneiden oder?

Comments

Ok Danke.

Kannst du mir dann auch erklären warum folgende Antwortmöglichkeit falsch ist?

f(0)<0 und f(1)>0.

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f(0)<0 und f(1)>0

Weil hier die Bedingung fehlt, dass f im Intervall [0, 1] stetig ist.

also keine Nullstelle für

f(x) = -1 für 0 ≤ x < 0.5
f(x) = 1 für 0.5 ≤ x ≤ 1

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Dir ist schon gesagt worden, dass du dir den Zwischenwertsatz ansehen solltest:

Zwischenwertsatz

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich von stetigen Funktionen. Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Haben insbesondere f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von f im offenen Intervall (a,b). Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.
_{(c) https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz}

Answer 2

Dass es zwischen 0 und 1 eine Nullstelle geben muss,
sagt dir der Zwischenwertsatz. Den solltest du "drauf haben".