Was ist das kleinste gültige n0?(Vollständige Induktion erklären und vll ein Bsp. geben )

Question

Aufgabe:

1+3+9+...+3ⁿ =$\frac{1}{2}$(3ⁿ⁺¹-1)

1.

Welches ist das kleinste gültige n₀? Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung an und
berechnen es anschließend damit.

2.

Zeigen Sie die obige Formel durch vollständige Induktion. Folgen Sie dem strengen Beweisschema. Geben Sie im (IS) konkret an, was zu zeigen ist.

Problem/Ansatz:

Ich versteh die erste aufgabenstellung nicht und bei der vollständigen Induktion muss ich doch einfach ein beweis dastellen oder ?

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Behauptung:\quad}S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n3^k=\frac{3^{n+1}-1}{2}\quad\text{für }n\ge0$$

Induktionsverankerung bei $n=0$$$S_n=S_0=\sum\limits_{k=0}^03^k=3^0=1\quad;\quad\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{0+1}-1}{2}=\frac{3-1}{2}=1\quad\checkmark$$Für $n=0$ ist die Behauptung also erfüllt.

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$

Wir haben gezeigt, dass die Behauptung für ein bestimmtes $n$ erfüllt ist. Wir nutzen diese Erkenntnis, um zu folgern, dass die Behauptung auch für das nachfolgende $(n+1)$ gilt.$$S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}3^k=3^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n}3^k$$Die letzte Summe können wir nach dem bisher Gezeigten durch die Summenformel ersetzen:$$S_{n+1}=3^{n+1}+\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{2\cdot3^{n+1}}{2}+\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{2\cdot 3^{n+1}+3^{n+1}-1}{2}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{3\cdot 3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{n+2}-1}{2}=\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}\quad\checkmark$$

Wenn die Behauptung für ein bestimmtes $n$ gilt, gilt sie also auch für das nachfolgende $(n+1)$. In vollständiger Induktion gilt die Behauptung also für alle $n\in\mathbb N_0$.

Comments

Danke für die Erläuterung :)

aber schon interessant das du die 3 * 3ⁿ⁺¹ in 3ⁿ⁺² geschrieben hast. Da hatte ich meinen Denkfehler

Schönen Sonntag :)

Answer 2

Bei 1. ist gefragt, welches die kleinste Zahl ist, die man für n einsetzen kann, so dass

        1+3+9+...+3ⁿ =$\frac{1}{2}$(3ⁿ⁺¹-1)

gilt.

Bei 2. sollst du nicht nur einfach einen beweis dastellen, sondern einen durch vollständige Induktion. Mit dem strengen Beweisschema. Insbesondere sollst du im (IS) konkret angeben, was zu zeigen ist.