Aloha :)
$$\text{Behauptung:\quad}S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n3^k=\frac{3^{n+1}-1}{2}\quad\text{für }n\ge0$$
Induktionsverankerung bei \(n=0\)$$S_n=S_0=\sum\limits_{k=0}^03^k=3^0=1\quad;\quad\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{0+1}-1}{2}=\frac{3-1}{2}=1\quad\checkmark$$Für \(n=0\) ist die Behauptung also erfüllt.
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\)
Wir haben gezeigt, dass die Behauptung für ein bestimmtes \(n\) erfüllt ist. Wir nutzen diese Erkenntnis, um zu folgern, dass die Behauptung auch für das nachfolgende \((n+1)\) gilt.$$S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}3^k=3^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n}3^k$$Die letzte Summe können wir nach dem bisher Gezeigten durch die Summenformel ersetzen:$$S_{n+1}=3^{n+1}+\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{2\cdot3^{n+1}}{2}+\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{2\cdot 3^{n+1}+3^{n+1}-1}{2}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{3\cdot 3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{n+2}-1}{2}=\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}\quad\checkmark$$
Wenn die Behauptung für ein bestimmtes \(n\) gilt, gilt sie also auch für das nachfolgende \((n+1)\). In vollständiger Induktion gilt die Behauptung also für alle \(n\in\mathbb N_0\).
