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Hey ich soll eine vollständige Induktion anhand dieses Beispiels führen, die 2 ist erstmal nebensächlich da ich davon ausgehe das wenn mir jemand die 1. Aufgabe erläutern kann ich die 2 von selbst schaffen kann. 

Ich danke euch schon mal. Unter den Summenzeichen soll k=0 stehen habe es nicht geschafft es drüber zu packen.

F.a. n ε N0 ist n(k · (k + 1)) = 1/3·n·(n+1)·(n+2).

                      k=0

  1. 1.  mit vollständiger Induktion

  2. 2. mit Dreiecks und Pyramidenzahlen

von

"Unter den Summenzeichen soll k=0 stehen habe es nicht geschafft es drüber zu packen." Lerne LaTeX. LaTeX geht nach dem Prinzip 'wYtiwYg' (what You think is what You get).

Summe geht so: \sum_{k=0}^n k(k+1) wird 

$$\sum_{k=0}^n k(k+1)$$

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Hallo Pia,

komisch, dass Dir noch niemand geantwortet hat. Wir hatten die Aufgabe sicher schon, ist aber schneller noch mal hingeschreiben als gesucht.

Also zum Induktionsanfang wird gezeigt, dass für eine kleines \(n\) hier z.B. \(n=0\) die gegeben Formel

$$\sum_{k=0}^n k(k+1) = \frac{n}{3}(n+2)(n+1)$$

stimmt. Setzt man für \(n=0\) so steht auf beiden Seiten eine \(0\); passt also. Im Induktionsschritt wird \(n\) um 1 erhöht. Und mit der Voraussetzung, dass es für \(n\) richtig war, gezeigt, dass es dann immer noch passt. Wir nehmen also z.B. den linken Term (man könnte auch mit dem rechten anfangen) und erhöhen \(n\) um 1

$$\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1)$$

und formen das nun so um, dass der rechte Term mit einem ebenso um \(1\) erhöhten \(n\) heraus kommt. Bei den Summen ist es immer gut, sich auf die Summe bis \(n\) zu beziehen und den letzten Summanden extra zu schreiben:

$$\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=0}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2)$$

Jetzt kann man nämlich den Summenausdruck vorn schon durch den Induktionsanfang ersetzen

$$\space = \underbrace{\sum_{k=0}^{n} k(k+1)}_{\text{s.o.}} + (n+1)(n+2) = \frac{n}{3}(n+2)(n+1) + (n+1)(n+2) $$

Es bietet sich an, die Terme \((n+2)(n+1)\) auszuklammern

$$\begin{align} \space &= (n+2)(n+1)\left(  \frac{n}{3} + 1\right)\\ &= (n+2)(n+1) \frac13 \left(  n + 3\right)\\ &= \frac{n+1}{3}(n+3)(n+2)\end{align}$$

und dies ist genau der rechte Ausdruck von oben mit einem um 1 erhöhtem \(n\). q.e.d.


Die Dreieckszahlen

$$\sum_{k=1}^n k= \frac{n}{2}(n+1)$$

solltest Du jetzt leicht schaffen und die (allgemeinen) Pyramidenzahlen sind etwas schwieriger. Versuche es mal. Wenn Du nicht weiter weißt, so frage einfach nach.

von 15 k

Alles klar ich denke den Rest sollte ich jetzt auch schaffen, danke :)

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