Maximum-Likelihood-Schätzer anhand Dichtefunktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Seien c, α ∈ (0,∞) und seien X1, . . . , Xn i.i.d. Zufallsvariablen mit Dichte f(x) = αcx^(c−1)e^(−αxc) , x ∈ (0,∞). Dabei sei c bekannt, aber α unbekannt.

a) Schätze α nach der Maximum-Likelihood-Methode.

b) Sei p ∈ (0,∞). Schätze α nach der Momentenmethode unter Verwendung des p-ten Moments. Fur welches ¨ p stimmt der so gewonneneSchätzer mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer uberein? ¨

c) Sind die zugehörigen Folgen von Schätzern stark konsistent fur ¨ α? Begrunde

Problem/Ansatz:

dass würde ich bei b zuerst machen aber wüsste nicht genau wie E(X^p) = Γ(p/c + 1)/α^(p/c), wobei Γ(x) :=integral von 0 bis unendlich  t^(x−1)e^−t dt, x ∈ (0,∞), die Gamma-Funktion bezeicht

Answer 1

Hallo,

das ist mal eine kleine Übungsschrift. Vielleicht hilft sie anderen. Ich nehme an, dass es sich in der Farge um eine Weibull-Verteilung handelt mit Formparameter \(c\), unbekanntem Skalenparameter \(\alpha\) und nur die Darstellung unglücklich ist. Es gilt also:$$f(x) = \begin{cases} \alpha \cdot c \cdot (\alpha \cdot x)^{c-1} \mathrm{e}^{-(\alpha\cdot x)^c}& \text{für }x \geq 0 \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}\;.$$Seien also \(X_1,...,X_n\sim \operatorname{Wei}(c,\alpha)\) und unabhängig. Ich würde als statistisches Modell folgendes ansetzen:

Stichprobenraum \(\mathcal{X}=(\mathbb{R}_{>0})^n\): Eine mögliche Stichprobe wäre dann z. B. \((0.5,1,3,0.6,...,0.2)\in \mathcal{X}\).

Als \(\sigma\)-Algebra wählt man dann \(\mathcal{A}=\mathcal{B}((\mathbb{R}_{>0})^n)\), wobei \(\mathcal{B}\) für die Borelsche-\(\sigma\)-Algebra steht.

Weiterhin haben wir eine Familie von Weibullverteilungen \((\mathbb{P}_{\alpha})_{\alpha\in \Theta}\), wobei der Parameterraum \(\Theta\) als \(\Theta=(0,\infty)\) gewählt wird.

a) Schätze \(\alpha\) nach der Maximum-Likelihood-Methode.

Dafür brauchen wir zunächst einmal die Likelihood-Funktion. Sei \(x=(x_1,...,x_n)\in \mathcal{X}\). Da die \(X_i\) unabhängig, erhält man die gemeinsame Verteilung über die Multiplikation der Dichten.$$L_x: \begin{cases}\Theta \to \mathbb{R} \\ \alpha \mapsto f(x,\alpha)=\prod \limits_{i=1}^{n}f_i(x_i,\alpha)=\alpha^{nc}c^n(x_1\cdot \ldots \cdot x_n)^{c-1}e^{-\alpha^c(x_1^c+\cdots +x_n^c)}\end{cases}$$ Dann bildest du die Log-Likelihood-Funktion:$$\ln(L_x(\alpha))=nc\ln(\alpha)+n\ln(c)+(c-1)\ln(x_1\cdot \ldots \cdot x_n)-\alpha^c(x_1^c+\cdots +x_n^c)$$ Dann ableiten ... $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\ln(L_x(\alpha))=\frac{nc}{\alpha}-c\alpha^{c-1}(x_1^c+\cdots +x_n^c)=0   \Longleftrightarrow nc-c\alpha^{c}(x_1^c+\cdots + x_n^c)=0 \\ \Longleftrightarrow \alpha^c=\frac{n}{x_1^c+\cdots +x_n^c}  \Longrightarrow \hat{\alpha}_{\text{ML}}=\left(\frac{n}{x_1^c+\cdots +x_n^c}\right)^{1/c}$$ Insofern ich mich nicht verrechnet habe, ist letzteres der ML-Schätzer.

Comments

Ouhhh ... bei Wikipedia steht:$$\alpha=\left(\frac{x_1^c+\cdots +x_n^c}{n}\right)^{1/c}$$https://en.wikipedia.org/wiki/Weibull_distribution#Parameter_estimation

Es gibt verschiedene Konventionen, wie man die Weibull-Verteilung aufschreibt. Das ist hier die Darstellung mit inversem Skalenparameter und meine Antwort daher scheinbar richtig.

(b) und (c) mache ich, wenn ich die Momentenmethode gelernt habe ...