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Aufgabe:

Die Lebensdauer eines bestimmten Bauelements lasse sich durch eine Zufallsgröße \( X \) mit Verteilungsfunktion \( F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) beschreiben, welche gemäß

\( F(t):=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \text { falls } t<t_{0} \\ 1-\exp \left(-\eta\left(t-t_{0}\right)\right), & \text { falls } t_{0} \leq t \end{array}\right. \)

definiert ist. Hierbei sei \( \eta=0,005 \) und der Zeitpunkt \( t_{0} \in(0, \infty) \) sei unbekannt. Zur Schätzung von \( t_{0} \) wird eine mathematische Stichprobe \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) durchgefihrt (mit \( \left.n \in \mathbb{N}\right) \). Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer \( \widehat{\Theta} \) für \( \vartheta=t_{0} \in(0, \infty) \) und berechnen Sie \( \mathrm{E}_{P}(\hat{\Theta}) \) sowie \( \operatorname{Var}_{P}(\widehat{\Theta}) \).

von

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der Maximum-Likelihood-Schätzer entspricht hier dem kleinsten gemessenen \( X_i \), das heißt

\( \hat \Theta = \min\{X_i, i = 1, \dots, n\} \).

Der Grund ist, dass das kleinste \( X_i \) die Likelihood-Funktion maximiert, die wie folgt aussieht:

\( L(X_1, \dots, X_n, t_0) = \prod_{i=1}^{n} \eta \exp(-\eta(X_i - t_0)) \mathbb{I}_{X_i \geq t_0} \).

Die Verteilungsfunktion dieses Schätzers beträgt

\( F_{\Theta}(\Theta = x) = P(\{\min\{X_1, \dots, X_n\} \leq x\}) \)

\( = 1 - P(\{\min\{X_1, \dots, X_n\} > x\}) \)

\( = 1 - P(\{X_1 > x \land \dots \land X_n > x \} \)

\( = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - F(x)) = 1 - (1 - F(x))^n \)

Die Dichtefunktion des Schätzers ist folglich

\( f_{\Theta}(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}(1 - (1-F(x))^n) \)

\( = - \frac{d}{dx}(1-F(x))^n \)

\( = \frac{dF}{dx} n (1-F(x))^{n-1} \)

\( = \eta \exp(-\eta(t-t_0)) n \exp(-\eta(t-t_0))^{n-1} \mathbb{I}_{x \geq t_0} \)

\( = \eta n \exp(-\eta n(t-t_0)) \mathbb{I}_{x \geq t_0} \)

Es handelt sich also wieder um eine verschobene Exponentialverteilung, aber mit dem Parameter \( \eta n \) statt \( \eta \).

Der Erwartungswert des Schätzers ist für \( x \geq t_0 \) daher einfach

\( \mathbb{E}[\Theta] = t_0 + \frac{1}{\eta n} \).

Der Schätzer ist nicht erwartungstreu, man kann den Bias \( \frac{1}{\eta n} \) ablesen.

Die Varianz des Schätzers beträgt

\( \mathbb{V}[\Theta] = \frac{1}{\eta n} \).

Für \( n \rightarrow \infty \) geht der Erwartungswert gegen \( t_0 \) und die Varianz gegen \( 0 \). Der Schätzer wird für größere Stichproben also immer genauer, was man von einem Schätzer wohl auch erwarten sollte.

Mister

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