Allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'+sinh(x)y = sinh(x)

Question

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung :

\( y^{\prime}+\sinh (x) y=\sinh (x) \)
\( y^{\prime}=\sinh (t)-\sinh (x) y \quad y^{\prime}=g(x) \cdot h(y) \)
\( =-\sinh (x)(-1+y) \)
\( g(x)=-\sinh (x) \)
\( h m=y-1 \quad \quad h(x)=\frac{1}{y} \quad ? \)

h(x) ist doch y-1 und nicht 1/y (laut Lösung) oder?

Answer 1

Hi Mü,

was genau machst Du da am Ende?

Habs nun gesehen: Ja Du hast recht ;).

Eigentlich hast Du schon das schwierigste (die Seperation) hinbekommen ;).

 

y' = sinh(x)(1-y)   |:(1-y)

y'/(1-y) = sinh(x)

Integrieren:

∫1/(1-y) dy = ∫sinh(x) dx

-ln(1-y) = cosh(x) + c     |e-Funktion anwenden (voher mit -1 multiplizieren)

1-y = e^{-cosh x + c}

y = 1-c₂e^{-cosh x}

 

Auf Wunsch kann man das - auch noch in das c₂ setzen:

y = 1 + c₃e^{-cosh x}

 

Grüße

Comments

Ich versuche irgendwie auf die richtige Lösung zu kommen damit.

Also so wie du das geschrieben hast habe ich das auch schon berechnet gehabt. Aber das stimmt dann nicht mit der Lösung überein. Das ist das Problem mit dem (y-1 bzw. 1/y)

Hier mal die Musterlösung 

Mein Problem ist das h(y) der Lösung.

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Da stimmt Deine Rechnung ohnehin nicht.

Beachte, dass es sich um eine homogene Lösung handelt. Du betrachtest also nur

y' + sinh(x)y = 0

y' = -sinh(x)*y

 

Mit g(x) = -sinh(x)

h(y) = y

(warum da in der Lösung 1/y steht, sehe ich nicht...)

 

Oder lautet eure Formel nicht y' = g(x)*h(y), sondern y'*h(y) = g(x)? Dann würde es wieder passen ;).

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Das mit der homogenen Lösung ist natürlich richtig. Das habe ich verpennt!!

Dann Passt das so weit. 

Die Formel sollte so eigentlich schon stimmen

 

 

Aber wenn ich homogen rechne also mit   ...=0  kann ich mir das Ja wieder umstellen und bekomme y'=-sinh(x)*y

Daraus hole ich dann mein g(x)=-sinh(x) und h(y)=y  

 

H(y) ist ja das Integral von 1/h(y) vielleicht steht deshalb 1/y in der Lösung. (Vielleicht haben die das irgendwie vertauscht). So komme ich auch auf die richtige Lösung!

Ich denke jetzt ist alles etwas klarer :).. Dankeschön

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Freut mich zu hören und gerne ;).

P.S.: Du hast gesehen wie ich es im Originalpost gelöst habe?

Da hier Trennung der Variablen anwendbar ist, brauchst Du keine Aufsplittung von homogener und partikulärer Lösung (wenn nicht anders gefordert) und kannst das direkt errechnen ;).

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Die Fragestellung war die allgemeine reelle Lösung zu finden.


Das heißt, ich hätte es gleich so machen können wie am Anfang... also mit diesem 1-y.

Der Zwischenschritt zur homogenen Lösung ist eigentlich unnötig in diesem Fall.

Ok, das werde ich mir merken. Das macht die Rechnung um einiges kürzer ;-)