Berechnen Sie für die folgenden Funktionen F und Kurven \gamma jeweils das Kurvenintegral \int _{\gamma} F(x) · d x .

Question

Berechnen Sie für die folgenden Funktionen \( F \) und Kurven \( \gamma \) jeweils das Kurvenintegral \( \int \limits_{\gamma} F(x) \cdot d x \).

(i) \( \quad F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x, y, z):=\left(y, z, e^{-x}\right), \quad \gamma:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t):=(-\cos (t), \sin (t), \cos (t)) \),
(ii) \( F: \mathbb{R} \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^{2}, F(x, y):=(\log (y), x), \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \gamma(t):=\left(t, \mathrm{e}^{t}\right) \),
(iii) \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, F(x, y):=\left(x, \frac{1}{1+y^{2}}\right) \)
\( \gamma:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \gamma(t):=(\sinh (t), \cos (t)) \).

Hänge an der Aufgabe fest. Hoffe jemand kann mir weiter helfen. Es wäre sehr nett eine Teilaufgabe zu lösen damit ich den Rest selbst versuchen kann. Vielen Dank.

Comments

Für eine Kurve \( \gamma : [a,b] \in \mathbb R^n \) ist

$$ \int_\gamma F(\bold x)~\textrm d\bold x := \int_a^b F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) ~\textrm d t $$

Bei (1) musst du also zB

$$ \int_0^{\pi/2} \begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\\\textrm{e}^{\cos(t)}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\\-\sin(t) \end{pmatrix} ~\textrm d t $$

berechnen. Beachte den trigonometrischen Pythagoras

$$ \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 $$

Und den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

$$ \int_a^b f'(x) ~\textrm d x = f(b) - f(a) $$

Versuch das damit mal selbst.

Answer 1

Aloha :)

Wir rechnen (i) zusammen durch, die beiden anderen funktionieren analog:

$$E=\int\limits_{\gamma}\vec F\,d\vec r=\int\limits_{0}^{\pi/2}\vec F(\vec r(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\\e^{\cos t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin^2t+\cos^2t-e^{\cos t}\sin t)\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}(1-e^{\cos t}\sin t)\,dt$$$$\phantom E=\left[t+e^{\cos t}\right]_{0}^{\pi/2}=\left(\frac\pi2+e^0\right)-\left(0+e^1\right)=\frac{\pi}{2}+1-e$$