impliziert stetige Grenzfunktion glm. Konvergenz?

Question

Frage:

In unserem Skript steht dass eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent ist, wenn die Grenzfunktion unstetig ist. Gilt auch die Umkehrung?

Also kann man aus einer stetigen Grenzfunktion die glm. Konvergenz einer Funktionenfolge folgern?

Danke im Voraus!

Answer 1

Hier ein Gegenbeispiel:

wir definieren \(f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\)$$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ccc}nx&\text{ für }&0\leq x\leq1/n\\-nx+2&\text{ für }&1/n<x\leq 2/n\\0&\text{ für }&x>2/n\end{array}\right\}$$