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Aufgabe:
Ich hätte eine Verständnisfrage. Wie genau lässt sich zeigen, dass ein Vektorfeld konservativ ist ? Reicht es hier zu zeigen, dass das Vektorfeld ein Potential hat ? Oder gibt es einen anderen Weg ? (Bei sternförmig kann ich auch Poincaré benutzen, oder ?) Ich bin mit dem Thema noch nicht ganz vertraut und wäre über Hilfe dankbar.

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Aloha :)

Wenn ein Vektorfeld \(\vec v\) ein Potential \(\phi\) besitzt, gilt:$$\vec v(x;y;z)=\operatorname{grad}\phi(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial z}\end{pmatrix}$$

In diesem Fall kannst du das Integral über \(\vec v\) entlang eines Weges \(\vec r\) von einem Startpunkt \((x_1;y_1;z_1)\) zu einem Endpunkt \((x_2;y_2;z_2)\) wie folgt berechnen:

$$E=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\left(v_x\,dx+v_y\,dy+v_z\,dz\right)$$Jetzt nutzen wir aus, dass \(\vec v=\operatorname{grad}\phi\) ist:$$\phantom E=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}\,dy+\frac{\partial\phi}{\partial z}\,dz\right)=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}d\phi=\phi(x_2;y_2;z_2)-\phi(x_1;y_1;z_1)$$

In der Klammer steht das totale Differential \(d\phi\) von \(\phi\), mit \(\phi\) als Stammfunktion.

Wenn also das Vektorfeld \(\vec v\) ein Potential \(\phi\) hat, kannst du das Wegintegral über \(\vec v\) entlang eines beliebigen Weges immer auf ein Integral über das totale Differential \(d\phi\) von \(\phi\) zurückführen. Dadurch hängt das Wegintegral nur von Start- und Endpunkt ab, aber nicht von dem gewählten Weg zwischen Start- und Endpunkt. Das funktioniert natürlich auch mit mehr als 3 Dimensionen und in nicht-kartesischen Koordinaten.

Allgemein gilt für eine stetig differenzierbare Funktion \(\vec v\colon U\to\mathbb R^n\), die über einer offenen und einfach zusammenhängenden Menge \(U\subseteq\mathbb R^n\) definiert ist:$$\text{\(\vec v\) ist Gradientenfeld}\quad\Longleftrightarrow\quad \underbrace{\frac{\partial v_i}{\partial x_k}=\frac{\partial v_k}{\partial x_i}\quad\text{für }i,k\in\{1;2;\ldots;n\}}_{\text{Integrabilitätsbedingung}}$$

"Einfach zusammenhängend" bedeutet, dass du jeden geschlossenen Weg, der innerhalb \(U\) liegt, auf die Größe eines Punkts zusammenziehen kannst, ohne dabei die Menge \(U\) zu verlassen. Eine Kreisfläche mit einem Loch in der Mitte ist zum Beispiel nicht einfach zusammenhängen, denn ein geschlossener Weg um das Loch herum kann nicht zu einem Punkt zusammengezogen werden. Sternfömige Gebiete sind einfach zusammenhängend.

In 3 Dimensionen ist die Rotation eines Vektorfeldes definiert. Dann ist die Integrabilitätsbedingung \((\ast)\) genau dann erfüllt, wenn die Rotation des Vektorfeldes verschwindet:$$\operatorname{rot}\vec v=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_y}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial v_z}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial z}\\[1ex]\frac{\partial v_x}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial x}\end{pmatrix}\stackrel{(\ast)}{=}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

von 119 k 🚀
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Hallo

 2 Methoden: a) zeigen dass  F=grad V   einer Potentialfunktion hat.

b) rot(F)=0

"(Bei sternförmig kann ich auch Poincaré benutzen, oder ?)" versteh ich nicht. was hat Vertorfeld mit sternförmig zu tun?

Gruß lul

von 86 k 🚀
versteh ich nicht. was hat Vertorfeld mit sternförmig zu tun?

Das Kriterium mit Hilfe der Rotation ist allgemein nur notwendig. Hinreichend ist es bei geeigneten Gebieten, zum Beispiel bei sternförmigen Gebieten.

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