Gleichungssysteme mit dem Determinantenverfahren lösen

Question

Kann mir jemand dieses Gleichungssystem mit dem Determinantenverfahren anschaulich und übersichtlich lösen.

\( a x-b y=a^{2}+b^{2} \)

\( b x+a y=a^{2}+b^{2} \)

Answer 1

Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise:

$$\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x \\  y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}  a^2+b^2 \\  a^2+b^2\end{array}\right)$$

Lösung durch Cramersche Regel:Ersetze Dabei die i-te Spalte der Koeffizientenmatix mit der rechten Seite des Gleichungssystems und bestimme die Determinante.

$$x=\frac{\left|  \left(\begin{array}{cc} a^2+b^2 & -b \\ a^2+b^2 & a\end{array}\right) \right|}{\left|\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a\end{array}\right)\right|}=\frac{(a + b) (a^2 + b^2)}{a^2+b^2}=a+b$$
$$y=\frac{\left|  \left(\begin{array}{cc} a & a^2+b^2 \\ b & a^2+b^2\end{array}\right) \right|}{\left|\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a\end{array}\right)\right|}=\frac{(a - b) (a^2 + b^2)}{a^2+b^2}=a-b$$