Zeigen Sie: v und w=(-1,2) bilden eine (geordnete) Basis \mathfrak{B}=(v, w) für V .

Question

Aufgabe:

Sei $V=\mathbb{R}^{2}$ der reelle Standardvektrorraum mit der Standardbasis $\mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}\right)$, für $e_{1}=(1,0)$ und $e_{2}=(0,1)$. Es bezeichne $\sigma: V \rightarrow V$ die Spiegelung an der Geraden, die durch den Ursprung $(0,0)$ und durch den Punkt $v=(2,1)$ verläuft.
(a) Zeigen Sie: $v$ und $w=(-1,2)$ bilden eine (geordnete) Basis $\mathfrak{B}=(v, w)$ für $V$.
(b) Geben Sie die Koordinatenmatrix $[\sigma]_{\mathfrak{B}}$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}$ an, mit einer knappen Begründung.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix $[\sigma]_{\mathfrak{E}}$ bezüglich der Standardbasis $\mathfrak{E}$.

Hallo, kann mir jemand bei der (b) & (c) helfen? Was genau ist mit koordinatenmatrix gemeint? Ich schätze mal nicht, dass bei (b) einfach

2 -1

0 2

kommt oder?

Answer 1

Zu b.: Es ist $\sigma(v)=1\cdot v+0\cdot w$ und $\sigma(w)=0\cdot v+(-1)\cdot w$.

Daraus kannst du die Darstellungsmatrix direkt

ablesen: $diag(1,-1)$.

Comments

Könntest du mir erklären, wie du vorgegangen bist, bzw. wie du auf die Werte kamst?

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$v$ liegt in der Spiegelungsachse, bleibt also unter

$\sigma$ fix. $w$ steht senkrecht auf der Spiegelungsachse,

wird also "umgedreht".

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Ah ok ich verstehe, dann ist bei (b) die koordinatenmatrix bloß di(1, -1)?

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Ja. Bei c)  musst du $e_1,e_2$ durch $v$ und $w$ ausdrücken,

Beispiel: $e_1=\frac{1}{3}(2v-w)$,

also $\sigma(e_1)=\frac{1}{3}(2\sigma(v)-\sigma(w))=$

$= \frac{1}{3}((4,1)+(-1,2))=(1,1)=1\cdot e_1+1\cdot e_2$.

Die erste Spalte der Matrix lautet $(1,1)^T$.

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Alles klar danke, aber ist dein Beispiel korrekt?  e_1 = 1/3(2v - w) wenn ich das mal ausrechne, komme ich auf was anderes

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Du hast Recht. Da habe ich mich verrechnet.

Richtig ist $e_1=\frac{1}{5}(2v-w)$ (ohne Gewähr ;-))

Dadurch wird $\sigma(e_1)=(3/5, 4/5)$.

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Um auf die Lösungen zu kommen, kann man ja einfach mittels Gauß verfahren die Aufgabe lösen oder? Also einfach das LGS lösen mittels ZSF

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Ja. Mit Gauss ist eine gute Idee.

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Ok perfekt, danke dir für die Hilfe.