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Aufgabe:


Sei \( V=\mathbb{R}^{2} \) der reelle Standardvektrorraum mit der Standardbasis \( \mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}\right) \), für \( e_{1}=(1,0) \) und \( e_{2}=(0,1) \). Es bezeichne \( \sigma: V \rightarrow V \) die Spiegelung an der Geraden, die durch den Ursprung \( (0,0) \) und durch den Punkt \( v=(2,1) \) verläuft.
(a) Zeigen Sie: \( v \) und \( w=(-1,2) \) bilden eine (geordnete) Basis \( \mathfrak{B}=(v, w) \) für \( V \).
(b) Geben Sie die Koordinatenmatrix \( [\sigma]_{\mathfrak{B}} \) bezüglich der Basis \( \mathfrak{B} \) an, mit einer knappen Begründung.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix \( [\sigma]_{\mathfrak{E}} \) bezüglich der Standardbasis \( \mathfrak{E} \).

Hallo, kann mir jemand bei der (b) & (c) helfen? Was genau ist mit koordinatenmatrix gemeint? Ich schätze mal nicht, dass bei (b) einfach

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kommt oder?

von

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Zu b.: Es ist \(\sigma(v)=1\cdot v+0\cdot w\) und \(\sigma(w)=0\cdot v+(-1)\cdot w\).

Daraus kannst du die Darstellungsmatrix direkt

ablesen: \(diag(1,-1)\).

von 18 k

Könntest du mir erklären, wie du vorgegangen bist, bzw. wie du auf die Werte kamst?

\(v\) liegt in der Spiegelungsachse, bleibt also unter

\(\sigma\) fix. \(w\) steht senkrecht auf der Spiegelungsachse,

wird also "umgedreht".

Ah ok ich verstehe, dann ist bei (b) die koordinatenmatrix bloß di(1, -1)?

Ja. Bei c)  musst du \(e_1,e_2\) durch \(v\) und \(w\) ausdrücken,

Beispiel: \(e_1=\frac{1}{3}(2v-w)\),

also \(\sigma(e_1)=\frac{1}{3}(2\sigma(v)-\sigma(w))=\)

\(= \frac{1}{3}((4,1)+(-1,2))=(1,1)=1\cdot e_1+1\cdot e_2\).

Die erste Spalte der Matrix lautet \((1,1)^T\).

Alles klar danke, aber ist dein Beispiel korrekt?  e_1 = 1/3(2v - w) wenn ich das mal ausrechne, komme ich auf was anderes

Du hast Recht. Da habe ich mich verrechnet.

Richtig ist \(e_1=\frac{1}{5}(2v-w)\) (ohne Gewähr ;-))

Dadurch wird \(\sigma(e_1)=(3/5, 4/5)\).

Um auf die Lösungen zu kommen, kann man ja einfach mittels Gauß verfahren die Aufgabe lösen oder? Also einfach das LGS lösen mittels ZSF

Ja. Mit Gauss ist eine gute Idee.

Ok perfekt, danke dir für die Hilfe.

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