Matrix diagonalisieren. A‘ und S Berechnen

Question

Aufgabe:

Sei $\alpha: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}$ der lineare Endomorphismus des Standaradvektorraums $\mathbb{Q}^{3}$ mit Koordinatenmatrix
$A=[\alpha]_{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 10 \\ -1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q})$
bzgl. der Basis $\mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$, bestehend aus $e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)$.
(a) Verifizieren Sie mittels geeigneter Zeilenumformungen, dass $A$ (und damit $\alpha$ ) den vollen Rang 3 hat, und berechnen Sie $A^{-1}=\left[\alpha^{-1}\right]_{\mathfrak{E}}$.
(b) Bestimmen Sie den Untervektorraum
$U=\left\{v \in \mathbb{Q}^{3} \mid v \alpha=5 v\right\},$
indem Sie eine Basis für $U$ berechnen.
(c) Verifizieren Sie, dass die Abbildung $\beta: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}, v \mapsto(v \alpha) \alpha+v$ linear ist und geben Sie die zugehörige Koordinatenmatrix $B=[\beta]_{\mathfrak{E}}$ an.
(d) Geben Sie $W=\operatorname{Kern}(\beta)$, den Kern der linearen Abbildung $\beta$ aus (c), an, indem Sie eine Basis für $W$ bestimmen.
(e) Zeigen Sie, dass der Vektorraum $\mathbb{Q}^{3}$ sich als direkte Summe $\mathbb{Q}^{3}=U \oplus W$ zerlegt, wobei $U$ wie in (b) und $W$ wie in (d) gegeben sind.
(f) Gemäß (e) ergänzen sich die von Ihnen gefundenen Basen für $U$ und $W$ zu einer Basis für $\mathbb{Q}^{3}$. Geben Sie diese Basis noch einmal explizit als geordnete Basis $\mathfrak{B}$ an und berechnen $\operatorname{sie} A^{\prime}=[\alpha]_{\mathfrak{B}}$ sowie $S \in \mathrm{GL}_{3}(\mathbb{Q})$ mit $S^{-1} A S=A^{\prime}$.

Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand bei der (f) weiterhelfen?  Also für die Basen  U und W habe ich U = (X_3, 0, X_3)^t  und W = (2X_3, X_2, X_3)^t heraus bekommen. Habe diese dann mit V = (X_1, 0, 0)^t ergänzt. Als Geordnete Basis habe ich B = (w, u, v)

Mit entsprechend  w = (3, 0, 2)^t , u = (1, 0 , 0)^t , v = (0, 1, 0)^t

Für A‘ habe ich schließlich:

1/5   -1/5   -2

1        1      0

1/5     -1/5   -1

wobei ich mir allerdings etwas unsicher bin, ob dass korrekt ist.

Wie bestimme ich nun S? So dass S^-1AS = A‘

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand da weiter helfen könnte.

Habe versucht A zu diagonalisieren, komme dabei aber auf was anderes raus. Kann also gut sein, dass ich A‘ falsch berechnet habe.

Answer 1

Als erstes: Die Matrix $A$ ist über $\mathbb Q$ nicht diagonalisierbar.

Du hast $U=\operatorname{Kern}(A-5E_3)=\operatorname{span}\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\rbrace$ richtig berechnet.
$W$ ist prinzipiell auch richtig. Allerdings hast du nicht berücksichtigt, dass $W$ zweidimensional ist.
Nach meinen Berechnungen ist $W=\operatorname{Kern}(A^2+E_3)=\operatorname{span}\left\lbrace\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\rbrace$.
Damit lautet eine mögliche gesuchte Matrix $S=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$,
und es ist $A^\prime=S^{-1}AS=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$.

Comments

Hey, danke erstmal für die ausführliche Antwort. Für W habe ich genau das gleiche heraus. Allerdings sollte ich ja die beiden Basen zu einer Basis für Q³ ergänzen und anschließend die geordnete Basis B angeben. U und W beinhalten ja zahlen von X_2 und X_3 deshalb dachte ich, ich könnte eine Basis V ergänzen mit (X_1, 0, 0) also (1, 0, 0) und diese sollten auch linear unabhängig sein. Oder ist dieser Schritt nicht gefragt?

Deine Vorgehensweise verstehe ich zwar auch komplett, bloß war ich mit bezüglich der Ergänzung etwas unsicher.

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Es gibt einen Basisvektor, der $U$ aufspannt. Es gibt deren zwei, die $W$ aufspannen. Alle drei Vektoren zusammen spannen $\mathbb Q^3=U\oplus W$ auf. Das ist hier wohl mit ergänzen sich gemeint. Diese drei Basisvektoren bilden die Spaltenvektoren der gesuchten Matrix $S$.