Uneigentliche Integrale mit ln

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

Bei folgender Aufgabe bin ich mir bei der Lösung unsicher. Beides habe ich als Foto hinzugefügt. Es geht eigentlich hauptsächlich um das Verhalten von Ln.

Es geht um das erste Integral.

Text erkannt:

$16: 14 \approx \mathbb{M}$
$\leftarrow$ brueckenkurs_2021.pdf - Schreibgeschützt
Auch in diesem Fall existiert das uneigentliche Integral also nicht.
Übung: Diskutieren Sie, ob die uneigentlichen Integrale
$\int \limits_{3}^{\infty} \mathrm{d} x \frac{5}{x^{2}-9} \quad \text { und } \quad \int \limits_{4}^{\infty} \mathrm{d} x \frac{5}{x^{2}-9}$
konvergieren.
Partielle Integration

Text erkannt:

$\frac{5}{6} \cdot\left(\frac{1}{x-3}\right)+\int \frac{1}{x+3}$
$\Rightarrow$ Sub: $u=x-3 \Rightarrow \frac{d u}{d x}=1 \Rightarrow d u=d x$
$\Rightarrow[\ln (x-3)]_{3}^{\infty}+[\ln (x+3)]_{3}^{\infty}$
$\Rightarrow-\ln (0)+\ln (\infty)-\ln (6)+\ln (\infty)$
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \ln (x)=-\infty$
$\Rightarrow+\infty+\infty-\ln (6)+\infty=\infty$

Problem/Ansatz:

Comments

Der erste Schritt war die Partialbruchzerlegung, die ich hier weggelassen habe...

Answer 1

Aloha :)

Die Partialbruch-Zerlegung ist falsch. In die Mitte muss ein Minus-Zeichen:$$\frac{5}{x^2-9}=\frac56\left(\frac{1}{x-3}\pink-\frac{1}{x+3}\right)$$

Dieser Fehler pflanzt sich in das Integral fort:$$\int\frac{5}{x^2-9}\,dx=\frac56\left(\ln|x-3|\pink-\ln|x+3|\right)+\text{const}$$

Da hier die Grenzen des Integrals stets $\ge3$ sind, können wir die Betragsstriche weglassen und die Stammfunktion vereinfachen:$$\int\frac{5}{x^2-9}\,dx=\frac56\ln\left(\frac{x-3}{x+3}\right)+\text{const}=\frac56\ln\left(1-\frac{6}{x+3}\right)+\text{const}\quad\text{für }x\ge3$$

Jetzt erkennst du die Grenzwerte:$$\int\limits_3^\infty\frac{5}{x^2-9}\,dx=\frac56\underbrace{\lim\limits_{x\to\infty}\ln\left(1-\frac{6}{x+3}\right)}_{\to\ln(1)=0}-\frac56\underbrace{\lim\limits_{x\to3}\ln\left(1-\frac{6}{x+3}\right)}_{\to\ln0\to-\infty}\quad\text{divergent !}$$$$\int\limits_4^\infty\frac{5}{x^2-9}\,dx=\frac56\underbrace{\lim\limits_{x\to\infty}\ln\left(1-\frac{6}{x+3}\right)}_{\to\ln(1)=0}-\frac56\ln\left(1-\frac{6}{4+3}\right)=0-\frac56\ln\left(\frac17\right)=\frac56\ln(7)$$

Comments

Sehr verständlich. Vielen Dank!

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habe nach Rumrechnerei nicht herausgefunden wie du auf folgenden Term kommst:

5/6 * ln(1- 6/(x+3))

Lg

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1= (x+3)/(x+3)

Welche Gedanke steckt aber dahinter? Woher weiss man dass man den Term von 1 subrahieren muss...

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Das Integral ist noch klar, hattest du ja bis auf das Vorzeichen auch:$$\phantom=\frac56\left(\ln(x-3)-\ln(x+3)\right)$$

Nun verwende das Logarithmengesetz $\ln(\frac ab)=\ln(a)-\ln(b)$:$$=\frac56\ln\left(\frac{x-3}{x+3}\right)$$

Jetzt formst du das Argument einfach um:$$=\frac56\ln\left(\frac{x+3-6}{x+3}\right)=\frac56\ln\left(\frac{x+3}{x+3}-\frac{6}{x+3}\right)=\frac56\ln\left(1-\frac{6}{x+3}\right)$$

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Ja Danke. Nur fand ich den Gedanken mit der -6 sehr clever...